2014-新课标I卷文-02 单-三角函数符号

本题导读

$\tan \alpha >0$ 时 $\sin \alpha$ 与 $\cos \alpha$ 同号，$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha >0$ 恒成立，选 A。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(文)） 若 $\tan \alpha >0$，则()

A. $\sin 2\alpha >0$　　　　　　B. $\cos \alpha >0$　　　　　　C. $\sin \alpha >0$　　　　　　D. $\cos 2\alpha >0$

🔍【思路分析】

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$\tan \alpha >0$ 时 $\sin \alpha$ 与 $\cos \alpha$ 同号，$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha >0$ 恒成立，选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$\tan \alpha >0⟺\alpha$ 是第一或第三象限角，此时 $\sin \alpha$ 与 $\cos \alpha$ 同号。

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$：同号相乘为正，故 $\sin 2\alpha >0$ 恒成立。

而 $\cos \alpha$、$\sin \alpha$ 的符号随象限不定；$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$ 符号也不定（如 $\alpha =225^{\circ }$ 时 $\cos 2\alpha =0$）。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同角三角函数关系；二倍角公式与符号判定

2. 核心方法：“tan 定象限 → sin、cos 同号 → 积定号”

3. 避坑指南：tanα>0 只保证 sinα、cosα 同号，不保证各自为正；逐项检验时注意第三象限的反例（B、C、D 都可能为负或零）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三角函数符号判断题（doc 考点定位：三角函数），与 2014 年新课标Ⅰ理第 8 题同属”同角关系定符号”家族。

2. 结论推广: 一般地，$\tan \alpha >0⟺\sin 2\alpha >0$（$\tan \alpha$ 与 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ 同号），可作快速判定的等价条件。

3. 方法推广: 三角符号题抓”平方关系 + 倍角公式”，把条件化成整式的符号问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-08 单-和差角公式