2015-广东卷文-16 解-三角恒等变换

本题导读

(1) 正切和角公式直接代入。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(文)） 已知 $\tan \alpha =2$．

(1) 求 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$ 的值；

(2) 求 $\frac{\sin 2\alpha }{{\sin }^2\alpha +\sin \alpha \cos \alpha -\cos 2\alpha -1}$ 的值．

🔍【思路分析】

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(1) 正切和角公式直接代入。（2）分子 $\sin 2\alpha$、分母是 $\sin \alpha ,\cos \alpha$ 的二次齐次式加常数——先降幂/平方关系把常数消掉，再”化切”。

✅【答案】

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(1) $-3$

(2) $1$

✍【详细解析】

Abstract

（1） $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha +\tan \frac{\pi }{4}}{1-\tan \alpha \tan \frac{\pi }{4}}=\frac{2+1}{1-2}=-3$。

（2） 分母先化简：$\cos 2\alpha +1=2{\cos }^2\alpha$，故

分母 $={\sin }^2\alpha +\sin \alpha \cos \alpha -2{\cos }^2\alpha$；分子 $=2\sin \alpha \cos \alpha$。

原式 $=\frac{2\sin \alpha \cos \alpha }{{\sin }^2\alpha +\sin \alpha \cos \alpha -2{\cos }^2\alpha }$，分子分母同除 ${\cos }^2\alpha$（$\cos \alpha \ne 0$）：

$=\frac{2\tan \alpha }{{\tan }^2\alpha +\tan \alpha -2}=\frac{4}{4+2-2}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正切和角公式；二倍角与降幂；“齐次式化切”

核心方法：给值求值问题统一化成 $\tan \alpha$ 表达

避坑指南：（1）$1-\tan \alpha \tan \frac{\pi }{4}=1-2=-3$ 是分母，结果 $\frac{3}{-1}=-3$，分母不能当分子；（2）第（2）问分母的 $-\cos 2\alpha -1=-2{\cos }^2\alpha$，符号与降幂两步一起完成，是本题唯一易错点；（3）同除 ${\cos }^2\alpha$ 前要说明 $\cos \alpha \ne 0$（由 $\tan \alpha =2$ 存在即保证）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角求值解答题第一题的典型形态：“和角公式 + 齐次化切”，凡给 $\tan \alpha$ 求正弦、余弦组合式，一律化切。

结论推广：分母若改 ${\sin }^2\alpha +\sin \alpha \cos \alpha +\cos 2\alpha -1={\sin }^2\alpha +\sin \alpha \cos \alpha$，则原式 $=\frac{2\tan \alpha }{{\tan }^2\alpha +\tan \alpha }=\frac{2}{3}$——常数处理方式随符号灵活变化。

方法推广：“化切”三板斧：$\sin 2\alpha \to \frac{2\tan \alpha }{1+{\tan }^2\alpha }$、平方项同除 ${\cos }^2\alpha$、$1={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha$ 替换常数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练(Links)

• 2014-广东卷理-16 解-正弦型函数解析式确定
• 2013年广东卷理-16
• 2011-广东卷理-16