2009-大纲卷II理-17 解-解三角形

本题导读

本题主要考查解三角形中的边角互化与三角恒等变换。核心在于利用三角形内角和定理消角化简，并结合正弦定理与已知等比关系确定唯一内角值。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(理)） 设 $△ABC$ 的内角 $A、B、C$ 的对边长分别为 $a、b、c$, $\cos (A-C)+\cos B=\frac{3}{2}$, $b^2=ac$, 求 $B$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用内角和定理 $B=\pi -(A+C)$ 将已知三角等式中的 $\cos B$ 转化为 $-\cos (A+C)$，通过两角和差公式展开化简求出 $\sin A\sin C$ 的值。

2. 利用正弦定理将边长关系 $b^2=ac$ 转化为角的关系 ${\sin }^{2}B=\sin A\sin C$，进而求得 $\sin B$ 的可能值。

3. 结合余弦函数的有界性 $\cos (A-C)\le 1$ 检验并排除增根，最终确定角 $B$ 的大小。

点击查看答案

$B=\frac{\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABC$ 中，因为 $A+B+C=\pi$，所以 $B=\pi -(A+C)$， 则 $\cos B=\cos [\pi -(A+C)]=-\cos (A+C)$。 代入已知条件 $\cos (A-C)+\cos B=\frac{3}{2}$ 得： $\cos (A-C)-\cos (A+C)=\frac{3}{2}$。 利用两角和与差的余弦公式展开得： $(\cos A\cos C+\sin A\sin C)-(\cos A\cos C-\sin A\sin C)=\frac{3}{2}$， $2\sin A\sin C=\frac{3}{2}⟹\sin A\sin C=\frac{3}{4}$。

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，已知 $b^2=ac$， 可得：${\sin }^{2}B=\sin A\sin C$。 所以 ${\sin }^{2}B=\frac{3}{4}$。 因为 $B$ 为 $△ABC$ 的内角，所以 $\sin B>0$，解得 $\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 由此得 $B=\frac{\pi }{3}$ 或 $B=\frac{2\pi }{3}$。

当 $B=\frac{2\pi }{3}$ 时，$\cos B=-\frac{1}{2}$， 此时 $\cos (A-C)=\frac{3}{2}-\cos B=\frac{3}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=2>1$，与 $\cos (A-C)\le 1$ 矛盾，舍去。 当 $B=\frac{\pi }{3}$ 时，$\cos B=\frac{1}{2}$， 此时 $\cos (A-C)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$，符合题意（此时 $A-C=0⟹A=C=\frac{\pi }{3}$）。 综上所述，$B=\frac{\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理的边角转换功能，以及三角形内角和定理与三角恒等变换的综合运用。

2. 核心方法：消元降角法，利用 $B=\pi -(A+C)$ 实现整体结构的对称化简。

3. 避坑指南：求出 $\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 后容易直接得出两个答案，务必将解代入原式中利用 $\cos (A-C)\le 1$ 进行有界性检验，否则会导致多解错判。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中解三角形与三角函数性质的经典综合习题，是高考解答题中第一道大题的常设题型。

2. 结论推广：在 $△ABC$ 中，若边长成等比数列（$b^2=ac$），且满足 $\cos (A-C)+\cos B=\frac{3}{2}$，则该三角形必为等边三角形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-18 解-正弦定理解三角形
• 2011-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形求高
• 2011-山东卷文-17 解-正余弦定理解三角形