2014-四川卷文-07 单-对数换底

本题导读

$b=5^a=10^c$，又 $10=5^d$，代入即比较指数。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(文)） 已知 $b>0$，${\log }_{5}b=a$，$\lg b=c$，$5^d=10$，则下列等式一定成立的是()

A. $d=ac$　　　　　B. $a=cd$　　　　　C. $c=ad$　　　　　D. $d=a+c$

🔍【思路分析】

破题导航

$b=5^a$，且 $b=10^c=(5^d{)}^c=5^{cd}$，同一底数比指数。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 ${\log }_{5}b=a$ 得 $b=5^a$；由 $\lg b=c$ 及 $5^d=10$ 得 $b=10^c=(5^d{)}^c=5^{cd}$。 同一个 $b$ 写成 $5$ 的幂，指数必相等，故 $a=cd$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数与对数的互化、换底公式

2. 核心方法：统一底数：把 $b$ 都写成 $5$ 的幂

3. 避坑指南：$5^d=10$ 给出 $d={\log }_{5}10$；把 $b=10^c$ 改写成 $(5^d{)}^c=5^{cd}$ 与 $b=5^a$ 对照即得 $a=cd$；勿死套换底公式算数值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 指数式与对数式的互化。

2. 结论推广: $a^x=N⟺x={\log }_{a}N$；$b=5^a=10^c=(5^d{)}^c=5^{cd}$。

3. 方法推广: 多个对数等式共用以同一底数表示同一个量，再比较指数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2014-安徽卷文-11 填-指对运算
• 2015-四川卷文-12 填-对数运算