2012-安徽卷文-15 填-对棱相等四面体判断

本题导读

本题考查对棱相等四面体的性质，以及面面全等与垂直平分。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(文)） 若四面体 $ABCD$ 的三组对棱分别相等，即 $AB=CD$，$AC=BD$，$AD=BC$，则$\underline{}$.（写出所有正确结论编号）

① 四面体 $ABCD$ 每组对棱相互垂直；

② 四面体 $ABCD$ 每个面的面积相等；

③ 从四面体 $ABCD$ 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 $90^{\circ }$ 而小于 $180^{\circ }$；

④ 连接四面体 $ABCD$ 每组对棱中点的线段相互垂直平分；

⑤ 从四面体 $ABCD$ 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.

🔍【思路分析】

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对棱相等的四面体四面全等（②真）、三条中点连线互相垂直平分（④真）、每顶点三条棱可作三角形三边（⑤真）；①③假，填 ②④⑤。

✅【答案】

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②④⑤

✍【详细解析】

Abstract

用坐标模型：设 $A(x,y,z)$，$B(x,-y,-z)$，$C(-x,y,-z)$，$D(-x,-y,z)$，则

$AB=CD=2\sqrt{y^2+z^2}$，$AC=BD=2\sqrt{x^2+z^2}$，$AD=BC=2\sqrt{x^2+y^2}$，是对棱相等四面体的一般形式。

②：$△ABC$ 与 $△DCB$ 的三边分别相等（$AB=CD$，$AC=BD$，$BC$ 公共），故四面全等，面积相等。②正确。

④：对棱 $AB$ 的中点为 $\left(x,0,0\right)$，对棱 $CD$ 的中点为 $\left(-x,0,0\right)$，两中点连线沿 $x$ 轴、被中心 $O$ 平分；同理另两条对棱中点连线分别沿 $y$ 轴、$z$ 轴。三条连线共点于 $O$、两两垂直且互相平分。④正确。

⑤：从顶点 $A$ 出发的三条棱长为 $AB$，$AC$，$AD$。而 $△BCD$ 的三边恰为 $BC=AD$，$BD=AC$，$CD=AB$，即这三条长恰能构成三角形（$△BCD$ 本身），由面面全等，每个顶点处都如此。⑤正确。

①：取 $x=y=z=1$ 得正四面体（对棱垂直），但一般如 $x=1$，$y=2$，$z=3$ 时 $\overrightarrow{AB}=(0,-4,-6)$，$\overrightarrow{CD}=(0,-4,6)$，数量积 $=16-36=-20\ne 0$，不垂直。①错误。

③：$x=y=z=1$ 时每个顶点处三个面角均为 $60^{\circ }$，和为 $180^{\circ }$，不满足”小于 $180^{\circ }$“。③错误。

综上，正确结论为②④⑤。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对棱相等四面体的结构（可嵌入长方体/坐标对称模型）；面面全等；对棱中点连线三线垂直平分

核心方法：用特殊坐标模型把抽象四面体代数化，逐条检验；正四面体作为反例排除③，非正四面体反例排除①

避坑指南：①对正四面体成立但对一般对棱相等四面体不成立，“以特例代一般”会多选①；③在正四面体时恰为 $180^{\circ }$，题目要求”小于 $180^{\circ }$“，边界情形即反例；⑤的依据是”面 $BCD$ 的三边恰是从 $A$ 出发的三条棱长”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：四面体多选判断题，与 2012 年重庆卷文第 9 题、2013 年安徽卷文第 15 题的立体判断题同族。

结论推广：对棱相等的四面体可放入长方体使各棱为长方体三个面的对角线；其对棱中点连线三条两两垂直且共中点（外接球心）。

方法推广：立体几何多选题用”一般模型 + 特例反例”双保险：先建坐标算一般情况，再用正四面体等特例检验边界说法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-09 单-四面体棱长范围
• 2014-上海卷文-19 解-正四面体展开
• 2012-辽宁卷文-16 填-外接球与三角形面积