2012-辽宁卷文-16 填-外接球与三角形面积

本题导读

本题考查外接球，以及三角形面积。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(文)） 已知点 $P$，$A$，$B$，$C$，$D$ 是球 $O$ 表面上的点，$PA\perp$ 平面 $ABCD$，四边形 $ABCD$ 是边长为 $2\sqrt{3}$ 的正方形.若 $PA=2\sqrt{6}$，则 $△OAB$ 的面积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$GA=\sqrt{6}$，由 $h^2+6=(h-2\sqrt{6}{)}^2+6$ 得 $h=\sqrt{6}$，$R^2=h^2+G{A}^2=12$；$OA=OB=AB=2\sqrt{3}$，$△OAB$ 为等边三角形，面积 $\frac{\sqrt{3}}{4}(2\sqrt{3}{)}^2=3\sqrt{3}$。

✅【答案】

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$3\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设正方形 $ABCD$ 的中心为 $G$，则 $GA=\frac{\sqrt{2}}{2}\times 2\sqrt{3}=\sqrt{6}$。

球心 $O$ 到 $A$，$B$，$C$，$D$ 距离相等，故 $O$ 在过 $G$ 且垂直于平面 $ABCD$ 的直线上。设 $OG=h$，则

$R^2=O{A}^2=h^2+G{A}^2=h^2+6$。

又 $P$ 在 $A$ 正上方 $PA=2\sqrt{6}$，$O{P}^2=P{G}^2+(2\sqrt{6}-h{)}^2=G{A}^2+(2\sqrt{6}-h{)}^2=6+(2\sqrt{6}-h{)}^2$。

由 $OA=OP$：$h^2+6=6+(2\sqrt{6}-h{)}^2$，展开得 $h^2=h^2-4\sqrt{6}h+24$，解得 $h=\sqrt{6}$。

于是 $R^2=6+6=12$，$R=2\sqrt{3}$，即 $OA=OB=2\sqrt{3}$。

而 $AB=2\sqrt{3}$，所以 $△OAB$ 三边相等，是等边三角形，其面积为

$S=\frac{\sqrt{3}}{4}\times (2\sqrt{3}{)}^2=3\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：外接球模型的轴截面法（球心在过底面多边形外心且垂直底面的直线上）；勾股定理；等边三角形面积

核心方法：定球心所在直线 → 用 $OA=OP$ 列方程求 $h$ 与 $R$ → 发现 $△OAB$ 等边

避坑指南：$P$ 在 $A$ 的正上方而不是在中心 $G$ 的正上方，$O{P}^2=G{A}^2+(PA-h{)}^2$ 中别忘了水平距离 $GA=\sqrt{6}$；求出 $R=2\sqrt{3}$ 后与 $AB$ 比较，三边相等这一步不看出来就会去硬算点到直线的距离。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：外接球与三角形面积结合题，与 2013 年辽宁卷文第 10 题、2013 年天津卷文第 10 题同族。

结论推广：“垂面型”外接球：底面正 $n$ 边形中心 $G$，$R^2=O{G}^2+G{A}^2$；本题算得 $R=2\sqrt{3}=AB$，恰有 $OA=OB=AB$，$△OAB$ 为等边三角形，$S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$。

方法推广：外接球问题先找球心所在的直线（过外心垂直底面），用两组等距列一个方程；解出 $R$ 后回头观察目标三角形三边关系，常能避免复杂计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷文-10 单-直三棱柱外接球
• 2013-天津卷文-10 填-正方体外接球
• 2014-大纲卷文-10 单-正四棱锥外接球