2012-安徽卷文-17 解-对勾函数与切线

本题导读

本题考查对勾函数求最小值。核心在于联立法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(文)） 设定义在 $(0,+\infty )$ 上的函数 $f(x)=ax+\frac{1}{ax}+b$（$a>0$）.

(1) 求 $f(x)$ 的最小值；

(2) 若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $y=\frac{3}{2}x$，求 $a$，$b$ 的值.

🔍【思路分析】

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(1) 最小值 $2+b$；(2) $a-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}$ 且 $a+\frac{1}{a}+b=\frac{3}{2}$，解得 $a=2$，$b=-1$。

✅【答案】

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(1) 最小值 $2+b$；(2) $a=2$，$b=-1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因 $a>0$、$x>0$，$ax>0$，由均值不等式

$ax+\frac{1}{ax}⩾2\sqrt{ax\cdot \frac{1}{ax}}=2$，

当且仅当 $ax=\frac{1}{ax}$，即 $x=\frac{1}{a}$ 时取等号。

故 $f(x)$ 的最小值为 $2+b$。

(2) $f^{\prime }(x)=a-\frac{1}{a{x}^2}$。

切点 $(1,f(1))$ 在切线 $y=\frac{3}{2}x$ 上，且切线斜率为 $\frac{3}{2}$，故

$\{\begin{array}{l}f(1)=a+\frac{1}{a}+b=\frac{3}{2},\\ f^{\prime }(1)=a-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}.\end{array}$

由 $a-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}$ 得 $2a^2-3a-2=0$，解得 $a=2$（$a=-\frac{1}{2}$ 舍去，$a>0$）。

代入第一式：$2+\frac{1}{2}+b=\frac{3}{2}$，得 $b=-1$。

故 $a=2$，$b=-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：均值不等式取等条件；导数几何意义：“切点在切线上”+“切线斜率=导数值”双条件

核心方法：(1) 均值不等式配凑积为定值；(2) “点在直线上 + 斜率相等”列两个方程

避坑指南：取等条件 $x=\frac{1}{a}$ 要写明（在定义域内）；(2) 切线条件是两个方程不是一方程，漏掉”切点在切线上”只剩一个方程无法定两参；解 $a$ 时注意 $a>0$ 舍负根。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对勾函数与切线综合题，与 2012 年浙江卷文第 9 题、2013 年新课标Ⅱ文第 21 题同族。

结论推广：$ax+\frac{1}{ax}$（$a,x>0$）最小值为 $2$；切线问题万能两条：$f(x_0)=y_0$ 与 $f^{\prime }(x_0)=k$。

方法推广：“对勾 + 切线”题：(1) 均值不等式必须写取等条件；(2) 切线翻译成方程组，先解导数方程再回代。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷文-09 单-基本不等式最值
• 2013-新课标II卷文-21 解-导数极值与切线截距
• 2012-重庆卷文-17 解-三次函数极值与最值