2012-重庆卷文-17 解-三次函数极值与最值

本题导读

本题考查利用导数研究函数的极值。核心在于函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(文)） 已知函数 $f(x)=a{x}^3+bx+c$ 在点 $x=2$ 处取得极值 $c-16$.

(1)求 $a$，$b$ 的值；

(2)若 $f(x)$ 有极大值 $28$，求 $f(x)$ 在 $[-3,3]$ 上的最小值.

🔍【思路分析】

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$f(2)=c-16$ 与 $f^{\prime }(2)=0$ 联立得 $a=1$，$b=-12$；极大值 $f(-2)=c+16=28$ 定 $c=12$；在 $[-3,3]$ 上比较 $f(-3),f(-2),f(2),f(3)$ 得最小值 $-4$。

✅【答案】

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(1)$a=1$，$b=-12$；(2)最小值为 $-4$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f(x)=a{x}^3+bx+c$，$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+b$。

由 $f(2)=c-16$：$8a+2b+c=c-16$，即 $4a+b=-8$；

由 $x=2$ 处取得极值：$f^{\prime }(2)=0$，即 $12a+b=0$。

两式相减得 $8a=8$，故 $a=1$，$b=-12$。

（2）此时 $f(x)=x^3-12x+c$，$f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x+2)(x-2)$。

当 $x<-2$ 时 $f^{\prime }>0$，当 $-2<x<2$ 时 $f^{\prime }<0$，当 $x>2$ 时 $f^{\prime }>0$，故极大值在 $x=-2$ 处：$f(-2)=-8+24+c=c+16$。

由极大值为 $28$，得 $c=12$，即 $f(x)=x^3-12x+12$。

在 $[-3,3]$ 上比较关键点：$f(-3)=-27+36+12=21$，$f(-2)=28$，$f(2)=8-24+12=-4$，$f(3)=27-36+12=3$。

所以最小值为 $f(2)=-4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极值点满足 $f^{\prime }(x_0)=0$ 且 $f(x_0)$ 为定值；闭区间最值 = 端点值与驻点值比较

核心方法：两个未知数用两个独立条件（函数值 + 导数值）联立；最值比较前先列表列出所有候选点

避坑指南：“在 $x=2$ 处取得极值”包含两层信息：$f(2)=c-16$ 且 $f^{\prime }(2)=0$，只列一个方程就解不出 $a$，$b$；比较最值时四个点一个都不能少，只比端点会误得 $3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次函数极值与闭区间最值题，与 2013 年广东卷文第 21 题、2012 年天津卷文第 20 题同族。

结论推广：$f(x)=x^3+px+q$ 的两驻点关于原点对称，$f(-2)=c+16$ 与 $f(2)=c-16$ 恰好相差 $32$；闭区间 $[-3,3]$ 上三次函数的最值只可能在端点与驻点处取得。

方法推广：含参三次函数：先由条件定参，再画”$f^{\prime }$ 符号表”确定单调区间，最后把候选点函数值全部算出比较。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷文-21 解-三次函数闭区间最值
• 2012-天津卷文-20 解-三次函数零点与区间最值
• 2013-新课标I卷文-20 解-导数单调性与极值