2011-重庆卷文-07 单-对勾函数最值

本题导读

本题考查基本不等式求最值，以及换元法。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(文)） 若函数 $f(x)=x+\frac{1}{x-2}$（$x>2$）在 $x=a$ 处取最小值，则 $a=$ ()

A. $1+\sqrt{2}$　　　　　　　B. $1+\sqrt{3}$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：令 $t=x-2>0$
2. 步骤2：化为 $f=t+\frac{1}{t}+2$
3. 步骤3：用对勾最值得 $f_{\min }=4$
4. 步骤4：此时 $t=1$

✅【答案】

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$3$。选 \textbf{C}

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=x-2$，则 $t>0$，$f=t+\frac{1}{t}+2$。 由基本不等式，$t+\frac{1}{t}\ge 2\sqrt{t\cdot \frac{1}{t}}=2$， 当且仅当 $t=\frac{1}{t}$，即 $t=1$ 时取等号。 此时 $f_{\min }=2+2=4$，$x=t+2=3$，故 $a=3$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对勾函数 $t+\frac{1}{t}$ 的最小值；换元转化；等号成立条件的定位。

核心方法：换元剥离常数 → 对勾最值 → 由取等条件反求最值点位置。

避坑指南：取等在 $t=1$ 处，对应 $x=3$，不是最小值 $4$ 本身：题目问的是取最小值的点 $a$，把 $4$ 当成 $a$ 会误选（$4$ 恰为干扰项 D）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对勾（双曲型）函数最值点问题，2012 安徽文 17 将对勾与切线结合深化，2011 福建文 10 在极值情境下同源。

结论推广：对 $t+\frac{k}{t}$（$t>0$）最小值为 $2\sqrt{k}$，在 $t=\sqrt{k}$ 处取得；$x$ 与 $t$ 的平移关系不改变取等位置的整体结构。

方法推广：形如 $x+\frac{1}{x-c}$（$x>c$）的题，先令 $t=x-c$ 化标准对勾，取等条件 $t=\sqrt{k}$ 再还原 $x$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷文-17 解-对勾函数与切线
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-福建卷文-10 单-极值与均值不等式