2012-安徽卷理-04 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的性质，以及等比中项。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(理)） 公比为 2 的等比数列 $\{a_n\}$ 的各项都是正数，且 $a_3{a}_{11}=16$，则 ${\log }_2{a}_{10}=($\quad\quad$)$

A. 4　　　　　　　B. 5　　　　　　　C. 6　　　　　　　D. 7

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用等比数列性质：根据 $a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q$（若 $m+n=p+q$），由 $a_3{a}_{11}=16$ 且 $3+11=14$，可以联想到中间项 $a_7$，即 $a_3{a}_{11}=a_7^2$。
2. 求出关键项：解出 $a_7$ 的值（注意各项均为正数）。
3. 推导目标项：利用通项关系 $a_{10}=a_7\cdot q^3$ 求出 $a_{10}$。
4. 对数运算：代入 ${\log }_2{a}_{10}$ 计算最终结果。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由等比数列性质可知： $a_3\cdot a_{11}=a_7^2$

代入已知条件 $a_3{a}_{11}=16$： $a_7^2=16$

由于数列 $\{a_n\}$ 的各项都是正数，所以： $a_7=4$

已知公比 $q=2$，则： $a_{10}=a_7\cdot q^{10-7}=a_7\cdot q^3$ $a_{10}=4\cdot 2^3=2^2\cdot 2^3=2^5$

计算对数： ${\log }_2{a}_{10}={\log }_2{2}^5=5$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列下标性质 $m+n=p+q⟹a_m{a}_n=a_p{a}_q$。
2. 核心方法：整体代换法。不需要求出首项 $a_1$，通过中间项 $a_7$ 或直接利用 $a_{10}^2=a_3{a}_{11}\cdot q^6$ 均可求解。
3. 易错点：忽略“各项都是正数”这一条件。在开方求 $a_7$ 时，理论上有 $\pm 4$，但在本题背景下需舍负。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论推广: 在等比数列中，$a_n=a_m\cdot q^{n-m}$。同时，$\{{\log }_a{a}_n\}$ 是一个等差数列。
2. 方法推广: 涉及下标对称的数列问题，优先考虑中项性质；涉及指数或公比幂次的求值，优先考虑对数化。
3. 题目推广: 若题目改为 $a_3+a_{11}=16$，则考查等差数列性质，思路完全对称。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷理-13 填-等比数列的性质
• 2014-重庆卷理-02 单-等比数列的性质
• 2013-新课标I卷理-14 填-Sn与an