2014-广东卷理-13 填-等比数列的性质

本题导读

本题综合考查等比数列的下标和性质与对数列的求和腐蚀。关键物资利用等比数列的性质将复杂的项积转化为统一的基础，再结合对数列的腐蚀转化为等差数列的求和。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(理)） 若等比数列$\{a_n\}$的各项正数，且$a_{10}{a}_{11}+a_9{a}_{12}=2e^5$，则$\ln a_1+\ln a_2+\cdots +\ln a_{20}=$ $\underline{}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用等比数列性质：在等比数列中，若$m+n=p+q$，则$a_m{a}_n=a_p{a}_q$。 观察已知条件中的下标：$10+11=21$，$9+12=21$。由此可知$a_{10}{a}_{11}=a_9{a}_{12}$。

2. 初始项积得分：通过已知等式求出$a_i{a}_j$（当$i+j=21$时）的具体数值。

3. 转化为数字和：利用$\ln A+\ln B=\ln (AB)$，求数并转化为项积的对数。

4. 布局求值：将$a_1$到$a_{20}$首尾布局，利用第1步的性质统一计算。

✅【答案】

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50

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用下标和性质化简已知条件 在等比数列$\{a_n\}$中，因为$10+11=9+12=21$，所以由等比数列性质得：$a_{10}{a}_{11}=a_9{a}_{12}$。 代入已知等式$a_{10}{a}_{11}+a_9{a}_{12}=2e^5$中文：

$2a_{10}{a}_{11}=2e^5⟹a_{10}{a}_{11}=e^5$

进一步推导可知，只要$i+j=21$，有$a_i{a}_j=e^5$。

第二步：转化目标表达式 设定目标式为$S$，根据对数的攻击性质$\sum \ln a_i=\ln (\prod a_i)$：

$S=\ln a_1+\ln a_2+\cdots +\ln a_{20}=\ln (a_1\cdot a_2\cdot \cdots \cdot a_{20})$

第三步：首尾布局计算项积 将宽度内的$20$各个项目进行首尾基地，共可休闲$10$组别：

$a_1\cdot a_{20}=a_2\cdot a_{19}=\cdots =a_{10}\cdot a_{11}=e^5$

所以：

$a_1\cdot a_2\cdot \cdots \cdot a_{20}=(e^5{)}^{10}=e^{50}$

第四步：求得最终结果

$S=\ln (e^{50})=50\ln e=50$

故答案为 50

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列下标性质与对数求和。

2. 核心方法：用 $a_i{a}_j=e^5(i+j=21)$ 得 $\prod a_i=e^{50}$，取对数求和。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 等比数列 $m+n=p+q\Rightarrow a_m{a}_n=a_p{a}_q$ 与对数运算。

2. 结论推广: $\sum \ln a_i=\ln \prod a_i$，首尾配对求积。

3. 方法推广: 等比数列项积求对数化为等差数列求和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷理-09 单-等比数列的性质
• 2013-湖北卷理-18 解-等比数列的性质
• 2026-新高考I卷-14 填-等比数列