2012-安徽卷理-08 单-向量

本题导读

本题考查向量的坐标运算，以及两角和与差的正弦、余弦公式。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(理)） 在平面直角坐标系中，点 $O(0,0)$，$P(6,8)$，将向量 $\overrightarrow{OP}$ 绕点 $O$ 逆时针方向旋转 $\frac{3\pi }{4}$ 后得向量 $\overrightarrow{OQ}$，则点 $Q$ 的坐标是()

A. $(-7\sqrt{2},-\sqrt{2})$　　B. $(-7\sqrt{2},\sqrt{2})$　　C. $(-4\sqrt{6},-2)$　　D. $(-4\sqrt{6},2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 向量模与初始角：计算 $\overrightarrow{OP}$ 的模长 $|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{6^2+8^2}=10$。设 $\overrightarrow{OP}$ 与 $x$ 轴正方向夹角为 $\alpha$，则 $\cos \alpha =\frac{3}{5},\sin \alpha =\frac{4}{5}$。
2. 旋转后的角度：旋转后向量 $\overrightarrow{OQ}$ 的模长不变（仍为 10），其与 $x$ 轴的夹角变为 $\alpha +\frac{3\pi }{4}$。
3. 坐标计算：点 $Q$ 的坐标即为 $(10\cos (\alpha +\frac{3\pi }{4}),10\sin (\alpha +\frac{3\pi }{4}))$。利用两角和公式展开计算即可。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定初始向量的特征 设 $P(6,8)$，则 $|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{6^2+8^2}=10$。 设向量 $\overrightarrow{OP}$ 与 $x$ 轴正半轴的夹角为 $\alpha$，则有： $\cos \alpha =\frac{6}{10}=\frac{3}{5},\sin \alpha =\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$

第二步：计算旋转后点 $Q$ 的横坐标 $x_Q$ 根据旋转变换，点 $Q$ 的横坐标为： $x_Q=10\cos (\alpha +\frac{3\pi }{4})$ 利用余弦和角公式展开： $x_Q=10(\cos \alpha \cos \frac{3\pi }{4}-\sin \alpha \sin \frac{3\pi }{4})$ $x_Q=10[\frac{3}{5}\times (-\frac{\sqrt{2}}{2})-\frac{4}{5}\times \frac{\sqrt{2}}{2}]$ $x_Q=10(-\frac{3\sqrt{2}}{10}-\frac{4\sqrt{2}}{10})=-7\sqrt{2}$

第三步：计算旋转后点 $Q$ 的纵坐标 $y_Q$ $y_Q=10\sin (\alpha +\frac{3\pi }{4})$ 利用正弦和角公式展开： $y_Q=10(\sin \alpha \cos \frac{3\pi }{4}+\cos \alpha \sin \frac{3\pi }{4})$ $y_Q=10[\frac{4}{5}\times (-\frac{\sqrt{2}}{2})+\frac{3}{5}\times \frac{\sqrt{2}}{2}]$ $y_Q=10(-\frac{4\sqrt{2}}{10}+\frac{3\sqrt{2}}{10})=-\sqrt{2}$

综上，点 $Q$ 的坐标为 $(-7\sqrt{2},-\sqrt{2})$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量旋转的坐标转换模型。
2. 核心方法：两角和公式法。将旋转前后的坐标统一在极坐标框架下（模长、幅角），能将几何旋转完美转化为代数运算。
3. 易错点：旋转方向。题目明确是“逆时针”，角度取正；若是顺时针，角度应取负值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论推广: 若点 $P(x,y)$ 绕原点逆时针旋转 $\theta$ 得到 $Q(x^{\prime },y^{\prime })$，则通用公式为： $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x\cos \theta -y\sin \theta \\ y^{\prime }=x\sin \theta +y\cos \theta \end{array}$ 代入本题：$x^{\prime }=6\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})-8\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-7\sqrt{2}$，$y^{\prime }=6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+8\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})=-\sqrt{2}$。
2. 方法推广: 涉及旋转 90°、180° 等特殊角度时，利用斜率或向量垂直性质判断往往更快。
3. 题目推广: 若旋转中心不是原点，应先通过平移将旋转中心移至原点，旋转后再平移回原位。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式 类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算

• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算

• 2013-湖北卷理-06 单-向量坐标