2012-安徽卷理-20 解-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质。核心在于待定系数法、坐标运算法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(理)） 如图，点 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$ 分别是椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的左右焦点，经过 $F_1$ 做 $x$ 轴的垂线交椭圆 $C$ 的上半部分于点 $P$，过点 $F_2$ 作直线 $P{F}_2$ 的垂线交直线 $x=\frac{a^2}{c}$ 于点 $Q$.

(1)如果点 $Q$ 的坐标为 $(4,4)$，求此时椭圆 $C$ 的方程；

(2)证明：直线 $PQ$ 与椭圆 $C$ 只有一个交点.

🔍【思路分析】

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21. 第一问：

• 点 $P$ 坐标：由于 $P{F}_1\perp x$ 轴且 $P$ 在椭圆上，代入 $x=-c$ 可得 $P(-c,\frac{b^2}{a})$。

• 垂直关系：$P{F}_2\perp Q{F}_2⟹k_{P{F}_2}\cdot k_{Q{F}_2}=-1$。

• 建立方程：利用点 $Q(4,4)$，结合准线方程 $x=\frac{a^2}{c}=4$ 和斜率乘积为 $-1$，解出 $a,b,c$。

2. 第二问：

• 求 $Q$ 点纵坐标：设 $Q(\frac{a^2}{c},y_Q)$，由 $P{F}_2\perp Q{F}_2$ 求出 $y_Q$。
• 求直线 $PQ$ 斜率：利用 $P,Q$ 两点坐标求出 $k_{PQ}$。
• 求切线斜率：对椭圆方程上半部分求导，计算在点 $P(-c,\frac{b^2}{a})$ 处的导数值。
• 对比结论：若斜率相等且过同一点，则直线为切线，交点只有一个。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 由题意，点 $P$ 的横坐标为 $-c$，代入椭圆方程 $\frac{(-c{)}^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 得： $y^2=b^2(1-\frac{c^2}{a^2})=b^2\cdot \frac{a^2-c^2}{a^2}=\frac{b^4}{a^2}$。 由于 $P$ 在上半部分，故 $P(-c,\frac{b^2}{a})$。

已知 $Q(4,4)$ 在直线 $x=\frac{a^2}{c}$ 上，所以 $\frac{a^2}{c}=4\text{(1)}$。 又 $F_2(c,0)$，则直线 $P{F}_2$ 的斜率 $k_{P{F}_2}=\frac{\frac{b^2}{a}-0}{-c-c}=-\frac{b^2}{2ac}$。 直线 $Q{F}_2$ 的斜率 $k_{Q{F}_2}=\frac{4-0}{4-c}=\frac{4}{4-c}$。 由 $P{F}_2\perp Q{F}_2$ 得：$(-\frac{b^2}{2ac})\cdot (\frac{4}{4-c})=-1⟹\frac{2b^2}{ac(4-c)}=1\text{(2)}$。 结合 $a^2=b^2+c^2\text{(3)}$。

联立 ①②③ 解得：$a=2,c=1,b=\sqrt{3}$。 故椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。

（Ⅱ）证明： 设 $Q(\frac{a^2}{c},y_Q)$。由 $P{F}_2\perp Q{F}_2$ 得： $\frac{\frac{b^2}{a}-0}{-c-c}\cdot \frac{y_Q-0}{\frac{a^2}{c}-c}=-1$ $(-\frac{b^2}{2ac})\cdot (\frac{y_Q}{\frac{b^2}{c}})=-1⟹-\frac{y_Q}{2a}=-1⟹y_Q=2a$。 所以 $Q(\frac{a^2}{c},2a)$。

直线 $PQ$ 的斜率为： $k_{PQ}=\frac{2a-\frac{b^2}{a}}{\frac{a^2}{c}-(-c)}=\frac{\frac{2a^2-b^2}{a}}{\frac{a^2+c^2}{c}}=\frac{(a^2+c^2)c}{a(a^2+c^2)}=\frac{c}{a}$。

考虑椭圆上半部分 $y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$，对其求导： $y^{\prime }=\frac{b}{a}\cdot \frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}$。 当 $x=-c$ 时，$y^{\prime }{|}_{x=-c}=\frac{b}{a}\cdot \frac{c}{\sqrt{a^2-c^2}}=\frac{b}{a}\cdot \frac{c}{b}=\frac{c}{a}$。

由于直线 $PQ$ 经过椭圆上的点 $P$，且其斜率等于椭圆在点 $P$ 处的切线斜率， 故直线 $PQ$ 与椭圆 $C$ 相切，即只有一个交点。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的通径长度（$2b^2/a$）；直线垂直的斜率关系；切线的判定。
2. 核心方法：“斜率法证明相切”。除了常规的联立方程令 $\Delta =0$，对于已知切点的证明题，使用导数（或切线方程公式 $x_{0}x/a^2+y_{0}y/b^2=1$）往往计算量更小。
3. 易错点：第一问中字母较多，代数变形容易出错。第二问中需注意点 $Q$ 的纵坐标与 $a,c$ 的关系推导。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论推广: 椭圆上一点 $P$ 处的切线与对应的准线交点 $Q$，与该侧焦点 $F$ 的连线必满足 $PF\perp QF$。本题实际上是这一性质的逆向呈现。
2. 方法推广: 证明“只有一个交点”在圆锥曲线中即等价于“相切”（除非直线与对称轴平行）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

• 20.01 导数定义与几何意义 类题演练 (Links)

• 2013-天津卷理-18 解-椭圆方程与性质

• 2014-广东卷理-20 解-椭圆的标准方程

• 2013-上海卷理-09 填-椭圆方程与性质