2014-大纲卷文-14 填-三角函数最值

本题导读

$y=1-2{\sin }^{2}x+2\sin x=\frac{3}{2}-2{\left(\sin x-\frac{1}{2}\right)}^2$，最大值 $\frac{3}{2}$。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(文)） 函数 $y=\cos 2x+2\sin x$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$y=1-2{\sin }^{2}x+2\sin x=\frac{3}{2}-2{\left(\sin x-\frac{1}{2}\right)}^2$，最大值 $\frac{3}{2}$。

✅【答案】

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$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$，令 $t=\sin x\in [-1,1]$：

$y=1-2t^2+2t=-2\left(t^2-t\right)+1=-2{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{2}$。

$t=\frac{1}{2}\in [-1,1]$ 可取，故最大值为 $\frac{3}{2}$（此时 $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ 或 $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角公式（降幂）；换元后的二次函数最值

2. 核心方法：$\cos 2x$ 降幂 → 换元 $t=\sin x$ → 配方

3. 避坑指南：换元后必须写上 $t\in [-1,1]$；抛物线顶点 $t=\frac{1}{2}$ 恰在区间内，最大值是顶点值 $\frac{3}{2}$ 而不是端点值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三角函数最值题（doc 考点定位：三角函数），与 2014 年新课标Ⅱ文第 14 题（恒等变换最值）同章。

2. 结论推广: 一般地，$y=a{\sin }^{2}x+b\sin x+c$ 型一律化为关于 $t=\sin x$ 的二次函数，在 $[-1,1]$ 上按”轴与区间位置”取最值。

3. 方法推广: “sin² 与 sin 混合”的结构：降幂 → 换元 → 配方，三步标准化处理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-14 填-三角恒等变换
• 2015-新课标I卷文-08 单-三角函数图象