2014-山东卷理-20 解-导数单调性

本题导读

本题是导数综合压轴题，重点考查利用导数研究函数的单调性与极值点问题。解题关键在于对导函数进行符号分析，并将其转化为辅助函数的零点分布问题，体现了转化与化归及分类讨论的数学思想。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(理)） 设函数 $f(x)=\frac{e^x}{x^2}-k\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)$ （$k$ 为常数，$e=2.71828\dots$ 是自然对数的底数）.

(1) 当 $k\le 0$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间；

(2) 若函数 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 内存在两个极值点，求 $k$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：首先求出 $f(x)$ 的定义域 $(0,+\infty )$。对 $f(x)$ 求导并通分，观察导函数 $f^{\prime }(x)$ 的分子。当 $k\le 0$ 时，分析分子中各项的符号，确定 $f^{\prime }(x)$ 的正负变化，从而得出单调区间。
2. 第二问核心转化：
   • 极值点即为导函数 $f^{\prime }(x)=0$ 且两侧符号相反的点。
   • 由导函数形式可知，极值点的个数取决于方程 $e^x-kx=0$ 在 $(0,2)$ 内的根。
   • 构造辅助函数：令 $g(x)=e^x-kx$。问题转化为 $g(x)$ 在 $(0,2)$ 内有两个零点。
   • 利用性质约束：由于 $g(x)$ 的凹凸性及单调性（通过 $g^{\prime }(x)=e^x-k$ 分析），要使 $g(x)$ 在区间内有两个零点，必须满足最小值小于 $0$ 且区间端点值大于 $0$ 等限制条件。

✅【答案】

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位置条件；数值条件

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty )$。 对 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=\frac{e^x\cdot x^2-e^x\cdot 2x}{x^4}-k\left(-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x}\right)$ $=\frac{e^x(x-2)}{x^3}-\frac{k(x-2)}{x^2}=\frac{(x-2)(e^x-kx)}{x^3}$。

当 $k\le 0$ 时，对于 $x>0$，有 $kx\le 0$，则 $e^x-kx>0$。 令 $f^{\prime }(x)=0$，解得 $x=2$。 当 $x\in (0,2)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减； 当 $x\in (2,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。 所以，$f(x)$ 的单调递减区间为 $(0,2)$，单调递增区间为 $(2,+\infty )$。

(2) 解： 由(1)知 $f^{\prime }(x)=\frac{(x-2)(e^x-kx)}{x^3}$。 若 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 内存在两个极值点，则 $f^{\prime }(x)$ 在 $(0,2)$ 内有两个变号零点。 因为 $x\in (0,2)$ 时 $x-2\ne 0$，故极值点必为 $e^x-kx=0$ 的根。 令 $g(x)=e^x-kx$，则 $g^{\prime }(x)=e^x-k$。

若 $k\le 0$，由(1)知 $g(x)>0$ 在 $(0,2)$ 上恒成立，无零点。 若 $k>0$，令 $g^{\prime }(x)=0$ 得 $x=\ln k$。 要使 $g(x)$ 在 $(0,2)$ 内有两个零点，极值点 $x=\ln k$ 必须在区间 $(0,2)$ 内，且最小值 $g(\ln k)<0$。

1. 位置条件：$0<\ln k<2⟹1<k<e^2$。
2. 数值条件：
   • 最小值 $g(\ln k)=e^{\ln k}-k\ln k=k(1-\ln k)<0⟹\ln k>1⟹k>e$。
   • 端点值 $g(0)=e^0-k\cdot 0=1>0$（恒成立）。
   • 端点值 $g(2)=e^2-2k>0⟹k<\frac{e^2}{2}$。

综上所述，实数 $k$ 的取值范围是 $\left(e,\frac{e^2}{2}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导函数的通项化简、函数零点分布的判定。

2. 核心方法：零点转化法。将求原函数极值点的问题转化为研究导函数分子的零点性质。

3. 避坑指南：在第二问中，极值点必须是“变号零点”。如果导函数在零点两侧符号不变，则该点不是极值点。本题通过 $g(x)$ 的开口向上特性确保了零点两侧的变号性质。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数极值与最值的区别、二阶导数判定凹凸性。

2. 结论推广: 方程 $e^x=kx$ 的根的个数问题，可以通过研究 $h(x)=\frac{e^x}{x}$ 的单调性来更直观地观察。

3. 方法推广: 涉及超越方程根的范围，常采用“端点效应”结合单调性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-06 单-导数单调性
• 2013-新课标II卷理-21 解-导数单调性
• 2013-广东卷理-21 解-导数单调性