2012-山东卷理-01 单-复数除法

本题导读

本题考查复数的除法运算，以及分母实数化的处理。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(理)） 若复数 $z$ 满足 $z(2-i)=11+7i$（$i$ 为虚数单位），则 $z=$()

A. $3+5i$ B. $3-5i$ C. $-3+5i$ D. $-3-5i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $z(2-i)=11+7i$ 解出 $z=\frac{11+7i}{2-i}$。
2. 分子分母同乘 $2+i$，把分母实数化。
3. 展开化简得 $z=3+5i$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$z=\frac{11+7i}{2-i}=\frac{(11+7i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{22+11i+14i+7i^2}{4+1}$ $=\frac{22+25i-7}{5}=\frac{15+25i}{5}=3+5i$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的四则运算

核心方法：共轭复数与分母实数化

避坑指南：$i^2=-1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于复数除法

结论推广：可推广到含参数的复数方程

方法推广：除法时分子分母同乘分母的共轭

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数 类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-19 解-复数模与范围

• 2010-山东卷文-02 单-复数运算与相等