2010-山东卷文-02 单-复数运算与相等

本题导读

考查复数运算。$\frac{a+2i}{i}=\frac{(a+2i)(-i)}{i(-i)}=2-ai$，与 $b+i$ 相等得 $b=2$、$-a=1$，即 $a=-1$，$a+b=1$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(文)） 已知 $\frac{a+2i}{i}=b+i$（$a,b\in \mathbf{R}$），其中 $i$ 为虚数单位，则 $a+b$ 等于()

A. $-1$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 左边分子分母同乘 $-i$：$\frac{a+2i}{i}=\frac{(a+2i)(-i)}{i(-i)}=\frac{-ai-2i^2}{1}=\frac{2-ai}{1}=2-ai$。
2. 即 $2-ai=b+i$。
3. 实部相等 $b=2$，虚部相等 $-a=1$，即 $a=-1$。
4. $a+b=-1+2=1$。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

由复数相等的意义，将左式化为标准形式： $\frac{a+2i}{i}=\frac{(a+2i)\cdot (-i)}{i\cdot (-i)}=\frac{-ai-2i^2}{1}=2-ai.$ 于是 $2-ai=b+i$. 实部与虚部分别相等： $b=2,-a=1\Rightarrow a=-1.$ 所以 $a+b=-1+2=1$. 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的除法运算与相等

核心方法：分子分母同乘 $-i$ 把 $\frac{a+2i}{i}$ 化为 $2-ai$，实部虚部对应相等

避坑指南：除以 $i$ 等价于乘以 $-i$（$i\cdot (-i)=1$）；“复数相等”必须实部、虚部各自相等，两条件缺一不可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数四则运算与相等条件的组合是文科卷高频起点。

结论推广：$\frac{1}{i}=-i$、$\frac{1}{-i}=i$，除 $i$ 的题目直接乘共轭更快；$a+bi=c+di⟺a=c\text{且}b=d$。

方法推广：分母含虚数单位时先”分母实数化”，再分离实部虚部，是复数运算的固定程序。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-02 单-复数除法
• 2010-天津卷文-01 单-复数除法
• 2011-山东卷文-02 单-复数除法运算
• 2012-山东卷文-01 单-复数除法运算