2012-山东卷理-12 单-函数交点

本题导读

本题考查函数图象交点的分析，以及根与系数关系。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(理)） 设函数 $f(x)=\frac{1}{x}$，$g(x)=a{x}^2+bx$（$a,b\in \mathbb{R}$，$a\ne 0$）.若 $y=f(x)$ 的图象与 $y=g(x)$ 图象有且仅有两个不同的公共点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则下列判断正确的是()

A. 当 $a<0$ 时，$x_1+x_2<0$，$y_1+y_2>0$ B. 当 $a<0$ 时，$x_1+x_2>0$，$y_1+y_2<0$ C. 当 $a>0$ 时，$x_1+x_2<0$，$y_1+y_2<0$ D. 当 $a>0$ 时，$x_1+x_2>0$，$y_1+y_2>0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\frac{1}{x}=a{x}^2+bx$ 化为 $a{x}^3+b{x}^2-1=0$。
2. 恰有两个公共点，分析三次方程的根。
3. 结合 $a$ 的符号判断 $x_1+x_2,y_1+y_2$ 符号。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{1}{x}=a{x}^2+bx\Rightarrow a{x}^3+b{x}^2-1=0$（$x\ne 0$）。 恰有两个公共点，三次方程有一重根与一对共轭虚根，或一重根加另一个实数根（此时两交点）。 由三次方程根与系数关系，结合 $a<0$ 时的符号分析，得 $x_1+x_2>0$，$y_1+y_2<0$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数图象的交点

核心方法：三次方程的根

避坑指南：根与系数关系

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于函数与方程

结论推广：可推广到两个曲线交点个数问题

方法推广：交点个数=方程根的个数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2007-四川卷理-16 填-三角函数单调性
• 2011-湖南卷理-08 单-分段函数
• 2012-天津卷文-14 填-分段函数图象交点