2012-山东卷理-15 填-定积分

本题导读

本题考查定积分的应用（求曲边梯形面积）。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(理)） 设 $a>0$，若曲线 $y=\sqrt{x}$ 与直线 $x=a$，$y=0$ 所围成封闭图形的面积为 $a^2$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 面积 $={\int }_0^a\sqrt{x}dx$。
2. 求积分 $=\frac{2}{3}{a}^{\frac{3}{2}}$。
3. 由面积 $=a^2$ 解 $a$。

✅【答案】

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$\frac{4}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

面积 $S={\int }_0^a\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}{|}_0^a=\frac{2}{3}{a}^{\frac{3}{2}}$。 由 $\frac{2}{3}{a}^{\frac{3}{2}}=a^2\Rightarrow \frac{2}{3}=a^{\frac{1}{2}}\Rightarrow a=\frac{4}{9}$。 故答案为 $\frac{4}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：定积分的几何意义

核心方法：曲边梯形面积

避坑指南：幂函数的积分

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于定积分的应用

结论推广：可推广到求两曲线围成的面积

方法推广：$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2013-江西卷理-06 单-定积分
• 2013-湖北卷理-07 单-定积分的几何意义与物理意义
• 2013-湖南卷理-12 填-定积分运算