2012-广东卷文-17 解-频率分布直方图

本题导读

本题考查频率分布直方图。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(文)） 某校 $100$ 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：$[50,60)$，$[60,70)$，$[70,80)$，$[80,90)$，$[90,100]$.

(1)求图中 $a$ 的值；

(2)根据频率分布直方图，估计这 $100$ 名学生语文成绩的平均分；

(3)若这 $100$ 名学生语文成绩某些分数段的人数 $(x)$ 与数学成绩相应分数段的人数 $(y)$ 之比如下表所示，求数学成绩在 $[50,90)$ 之外的人数.

| 分数段 | $[50,60)$ | $[60,70)$ | $[70,80)$ | $[80,90)$ | | 人数比 $x:y$ | $1:1$ | $2:1$ | $3:4$ | $4:5$ |

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🔍【思路分析】

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$a=0.005$；平均分 $73$ 分；数学成绩在 $[50,90)$ 内共 $90$ 人，之外 $10$ 人。

✅【答案】

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(1)$a=0.005$；(2)平均分约为 $73$ 分；(3)数学成绩在 $[50,90)$ 之外的人数为 $10$ 人

✍【详细解析】

Abstract

（1）五个矩形的高度依次为 $a,0.04,0.03,0.02,a$（两端同高 $a$），组距均为 $10$，面积之和为 $1$：

$10\times \left(a+0.04+0.03+0.02+a\right)=1$，即 $0.9+20a=1$，解得 $a=0.005$。

（2）各组频率依次为 $0.05,0.40,0.30,0.20,0.05$，对应人数 $5,40,30,20,5$。用组中值估计平均分：

$\bar{x}=\frac{55\times 5+65\times 40+75\times 30+85\times 20+95\times 5}{100}=\frac{275+2600+2250+1700+475}{100}=\frac{7300}{100}=73$（分）.

（3）语文成绩各组人数为 $5,40,30,20$，按人数比换算数学成绩人数：

$[50,60)$：$y=5$；$[60,70)$：$y=40\times \frac{1}{2}=20$；$[70,80)$：$y=30\times \frac{4}{3}=40$；$[80,90)$：$y=20\times \frac{5}{4}=25$。

数学成绩在 $[50,90)$ 内共 $5+20+40+25=90$ 人，故之外的人数为 $100-90=10$ 人。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直方图中 $a$ 的求法（面积和为 $1$）；组中值加权平均；按比例换算频数

核心方法：面积和为 $1$ 定参数；平均分 $=$ 组中值 × 频率的和；比例换算时注意谁是 $x$ 谁是 $y$

避坑指南：两端 $[50,60)$ 与 $[90,100]$ 的高度都是 $a$，面积和里 $a$ 出现两次；换算人数时 $x:y$ 中 $x$ 是语文、$y$ 是数学，比例取倒数关系（$2:1$ 意味着数学是语文的一半）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：频率分布直方图解答题，与 2013 年新课标Ⅱ文第 19 题、2014 年新课标Ⅰ文第 18 题同族。

结论推广：直方图中”某区间之外”的人数 $=$ 总数 $-$ 区间内人数；平均数估计值落在众数组附近。

方法推广：统计解答题先列”组中值 / 频率 / 频数”三行表，三个小问都从这张表取数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-19 解-频率分布直方图
• 2014-新课标I卷文-18 解-频率分布直方图
• 2013-湖北卷理-11 填-频率分布直方图