2014-新课标I卷文-18 解-频率分布直方图

本题导读

各组频率 $0.06,0.26,0.38,0.22,0.08$；平均数 100、方差 104；不低于 95 的频率 0.68 < 0.8，不能认为符合规定。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(文)） 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：

质量指标值分组	[75,85)	[85,95)	[95,105)	[105,115)	[115,125)
频数	6	26	38	22	8

(1) 作出这些数据的频率分布直方图；

(2) 估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(3) 根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合”质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80%“的规定？

🔍【思路分析】

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各组频率 $0.06,0.26,0.38,0.22,0.08$；平均数 100、方差 104；不低于 95 的频率 0.68 < 0.8，不能认为符合规定。

✅【答案】

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(1) 各组矩形高依次为 0.006，0.026，0.038，0.022，0.008 (2) 平均数的估计值为 100，方差的估计值为 104 (3) 不能认为符合规定

✍【详细解析】

Abstract

(1) 各组频率依次为 $0.06,0.26,0.38,0.22,0.08$，组距为 10，矩形高（频率/组距）依次为 $0.006,0.026,0.038,0.022,0.008$，据此作出直方图。

(2) 组中值依次为 $80,90,100,110,120$。

平均数 $\bar{x}=80\times 0.06+90\times 0.26+100\times 0.38+110\times 0.22+120\times 0.08=100$。

方差 $s^2=0.06(80-100{)}^2+0.26(90-100{)}^2+0.38(100-100{)}^2+0.22(110-100{)}^2+0.08(120-100{)}^2=24+26+0+22+32=104$。

(3) 质量指标值不低于 95 的频率估计为 $0.38+0.22+0.08=0.68<0.8$，故不能认为该企业生产的这种产品符合规定。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体

2. 核心方法：频率 = 矩形面积；均值、方差用组中值加权

3. 避坑指南：①直方图纵轴是”频率/组距”，把频率直接当高会画错比例；②”不低于 95”对应 [95,105)、[105,115)、[115,125) 三组，边界 95 属于后一组。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 统计解答题（doc 考点定位：概率与统计），与 2014 年新课标Ⅰ理第 18 题同卷（理在直方图基础上加正态与二项分布）。

2. 结论推广: 一般地，直方图中”某区间上的频率 = 该区间上矩形面积之和”；均值、方差均可由组中值加权公式计算。

3. 方法推广: 统计图表解答题三步：读表算频率 → 按定义画图或算数字特征 → 回答”能否认为”类判断（比较阈值）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-18 解-平均数与方差的估计