2012-广东卷理-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及虚数单位的性质。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(理)） 设 $i$ 为虚数单位，则复数 $\frac{5-6i}{i}=$()

A. $6+5i$　　　　B. $6-5i$　　　　C. $-6+5i$　　　　D. $-6-5i$

🔍【思路分析】

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1. 因为给定复数分母为纯虚数 $i$，所以只需分子与分母同乘以 $i$ 即可实现分母有理化。
2. 因为虚数单位满足 $i^2=-1$，所以展开分子多项式并代入化简，可得到复数的标准形式。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 给定复数为 $\frac{5-6i}{i}$， 所以 分子与分母同乘以虚数单位 $i$： $\frac{5-6i}{i}=\frac{(5-6i)\cdot i}{i\cdot i}$

因为 分母为 $i^2=-1$，分子展开为 $5i-6i^2$， 所以 代入 $i^2=-1$ 满足： $\frac{5i-6(-1)}{-1}=\frac{5i+6}{-1}$

因为 整体除以 $-1$， 所以 结果为： $-6-5i$

故选：(D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数代数标准形式的除法化简。
2. 核心方法：分母有理化（纯虚数分母直接同乘 $i$）。
3. 避坑指南：

• 因为分子含有 $-6i^2$，代入 $i^2=-1$ 后应变为 $+6$，部分考生容易在此处出现符号笔误。
• 因为最终分母为 $-1$，整个分子需要整体变号，必须注意实部与虚部的正负号交替。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第二册第七章《复数》的课后基础练习题，考查最基本的复数概念与运算规则。
2. 结论推广：对于任意形如 $\frac{a+bi}{i}$ 的复数，因为分子分母同乘 $i$ 后满足 $\frac{ai+b{i}^2}{i^2}=\frac{-b+ai}{-1}=b-ai$，所以该类型复数的化简规律为：最终实部等于原虚部系数，最终虚部系数等于原实部系数的相反数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数 类题演练 (Links)

• 2002-上海卷理-01 填-复数的代数运算

• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法

• 2014-山东卷理-01 单-复数的相等与共轭