2012-新课标卷文-20 解-抛物线与圆的综合

本题导读

本题考查抛物线的定义与性质。核心在于几何法、定义法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(文)） 设抛物线 $C:x^2=2py$（$p>0$）的焦点为 $F$，准线为 $l$，$A$ 为 $C$ 上一点，已知以 $F$ 为圆心，$FA$ 为半径的圆 $F$ 交 $l$ 于 $B$，$D$ 两点.

(1) 若 $\angle BFD=90^{\circ }$，$△ABD$ 的面积为 $4\sqrt{2}$，求 $p$ 的值及圆 $F$ 的方程；

(2) 若 $A$，$B$，$F$ 三点在同一直线 $m$ 上，直线 $n$ 与 $m$ 平行，且 $n$ 与 $C$ 只有一个公共点，求坐标原点到 $m$，$n$ 距离的比值.

🔍【思路分析】

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(1) $\angle BFD=90^{\circ }$ 且 $B,D$ 在准线上，$|FA|=2p$、$|BD|=2p$，面积定 $p=2$，圆 $F$：$x^2+(y-1{)}^2=8$；(2) $A$、$B$ 关于 $F$ 对称，解得 $k^2=\frac{1}{3}$，距离比 $3$。

✅【答案】

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(1) $p=2$，圆 $F$：$x^2+(y-1{)}^2=8$ (2) 比值为 $3$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $F\left(0,\frac{p}{2}\right)$，$l:y=-\frac{p}{2}$，$F$ 到 $l$ 的距离为 $p$。

$\angle BFD=90^{\circ }$ 且 $|FB|=|FD|$（均为半径），故 $△BFD$ 是等腰直角三角形，斜边 $BD$ 在 $l$ 上，$F$ 到 $l$ 的距离 $p$ 即斜边上的高，$|BD|=2p$，半径 $$\begin{gathered} r=\sqrt{2} \\ ,p \end{gathered}$$。

$A$ 在圆 $F$ 上，$$\begin{gathered} |FA|=\sqrt{2} \\ ,p \end{gathered}$$。由抛物线定义，$A$ 到准线的距离 $$\begin{gathered} =|FA|=\sqrt{2} \\ ,p \end{gathered}$$，即 $$\begin{gathered} y_A+\frac{p}{2}=\sqrt{2} \\ ,p \end{gathered}$$，$y_A=\left(\sqrt{2}-\frac{1}{2}\right)p$。

$△ABD$ 的面积：$$\begin{gathered} \frac{1}{2}\cdot |BD|\cdot \left(y_A+\frac{p}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot 2p\cdot \sqrt{2} \\ ,p=\sqrt{2} \\ ,p^2=4\sqrt{2} \end{gathered}$$，故 $p=2$。

圆 $F$：$x^2+(y-1{)}^2=8$。

(2) $A$、$B$ 在圆 $F$ 上且 $A$、$B$、$F$ 共线，故 $AB$ 是圆的直径，$A$、$B$ 关于 $F$ 对称，$x_A+x_B=0$，$y_A+y_B=p$。$B$ 在准线上：$y_B=-\frac{p}{2}$，$y_A=\frac{3p}{2}$。

$A$ 在 $C$ 上：$x_A^2=2p\cdot \frac{3p}{2}=3p^2$，$$\begin{gathered} x_A=\sqrt{3} \\ ,p \end{gathered}$$。直线 $m$ 过 $F\left(0,\frac{p}{2}\right)$ 与 $A(\sqrt{3}p,\frac{3p}{2})$，斜率 $k=\frac{p}{\sqrt{3}p}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。

$d(O,m)=\frac{p/2}{\sqrt{1+k^2}}$。设 $n:y=kx+b$，与 $x^2=2py$ 联立：$x^2-2pkx-2pb=0$，相切要求 $\Delta =4p^2{k}^2+8pb=0$，$b=-\frac{p{k}^2}{2}$。

$d(O,n)=\frac{|b|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{p{k}^2/2}{\sqrt{1+k^2}}$。

$\frac{d(O,m)}{d(O,n)}=\frac{p/2}{p{k}^2/2}=\frac{1}{k^2}=3$

故坐标原点到 $m$、$n$ 距离的比值为 $3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的定义（焦点弦与准线）；圆的对称性；直线与抛物线相切的判别式

核心方法：等腰直角三角形定弦长 → 定义定面积 → 对径点定 $A$ → 距离公式比比值

避坑指南：①(1) 中 $△ABD$ 的高要用 $A$ 到 $l$ 的距离（即 $|FA|$，抛物线定义），不是 $y_A$；②(2) 中 $A$、$B$ 关于圆心对称是核心转化，$b$ 的符号不影响距离但联立别漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线与圆的综合题，与 2013 年四川卷文第 5 题（抛物线焦点距离）、2013 年北京卷文第 9 题（抛物线焦点准线）同族，是全国卷抛物线大题的代表。

结论推广：一般地，圆心在焦点的圆与准线交弦 $BD$：$|BD|=2d(F,l)$；抛物线上点与焦点的距离即其到准线的距离。

方法推广：抛物线大题两问常分”几何定义”与”代数联立”两种武器：能用定义就先定义，求比值最后用距离公式收口。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-09 填-抛物线焦点准线
• 2013-四川卷文-05 单-抛物线焦点距离