2011-浙江卷文-21 解-导数单调性与恒成立

本题导读

本题考查导数与单调区间，以及恒成立问题。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(文)） 设函数 $f(x)=a^2\ln x-x^2+ax$，$a>0$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间；

(2) 求所有实数 $a$，使 $e-1⩽f(x)⩽e^2$ 对 $x\in [1,e]$ 恒成立.

注：$e$ 为自然对数的底数.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) $f^{\prime }(x)=\frac{(a+2x)(a-x)}{x}$
2. 步骤2：由 $a>0$ 定单调区间
3. 步骤3：(2) 先用 $f(1)⩾e-1$ 夹出 $a⩾e$
4. 步骤4：再用 $f(e)⩽e^2$ 夹出 $a⩽e$

✅【答案】

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(1) 增区间 $(0,a)$，减区间 $(a,+\infty )$

(2) $a=e$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 定义域 $x>0$。

$f^{\prime }(x)=\frac{a^2}{x}-2x+a=\frac{a^2-2x^2+ax}{x}=\frac{(a+2x)(a-x)}{x}$。

由 $a>0$，$x>0$ 知 $a+2x>0$，导数符号由 $a-x$ 决定：$f$ 在 $(0,a)$ 上单调递增，在 $(a,+\infty )$ 上单调递减。

(2) 恒成立条件对 $x=1$ 也成立：$f(1)=a-1⩾e-1$，故 $a⩾e$。

此时 $[1,e]\subset (0,a]$，$f$ 在 $[1,e]$ 上单调递增，$f(x)⩽f(e)=a^2\ln e-e^2+ae=a^2-e^2+ae$。

由 $f(e)⩽e^2$：$a^2+ae-2e^2⩽0$，即 $(a-e)(a+2e)⩽0$。由 $a>0$，$a+2e>0$，得 $a⩽e$。

综上 $a=e$。验证：$a=e$ 时 $f$ 在 $[1,e]$ 递增，$f(1)=e-1$，$f(e)=e^2$，恒成立成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数符号与单调区间；双侧恒成立对参数的夹逼

核心方法：恒成立问题先取特殊点（$x=1$）夹 $a$ 的下界，再用区间端点最值（$f(e)$）夹上界，两界合并出唯一解

避坑指南：$a⩾e$ 的结论直接改变单调区间与 $[1,e]$ 的相对位置（保证 $f$ 在 $[1,e]$ 上递增），这个”逻辑链”不能省——没有它就不能用 $f(e)$ 作最大值；$(a-e)(a+2e)⩽0$ 中 $a+2e>0$ 要交代，才能除出 $a⩽e$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数恒成立题与 2013-大纲卷文-21、2012-新课标卷文-21、2012-辽宁卷文-08 同族。

结论推广：推广：$e-1⩽f(x)⩽e^2$ 在 $[1,e]$ 上恒成立 $⟺\min f⩾e-1$ 且 $\max f⩽e^2$；当两条件夹出 $a=e$ 后，验证步骤不可省（必要条件拼出的解须回验充分性）。

方法推广：恒成立求参：先找”最好用的点”（端点、极值点）得参数的必要范围，再在该范围内确定最值位置，最后合并回验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-21 解-导数单调性与恒成立
• 2012-新课标卷文-21 解-导数恒成立与隐零点
• 2012-辽宁卷文-08 单-导数求单调区间