2012-新课标卷理-19 解-线线垂直与二面角

本题导读

本题考查线线垂直的判定与二面角的求解，以及坐标法。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(理)）

如图，直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$AC=BC=\frac{1}{2}A{A}_1$，$D$ 是棱 $A{A}_1$ 的中点，$D{C}_1\perp BD$.

(1) 证明：$D{C}_1\perp BC$；

(2) 求二面角 $A_1-BD-C_1$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. (1) 建系或几何法证明 $D{C}_1\perp BC$。

2. (2) 求两平面法向量，算二面角。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $30^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $AC=BC=1$，$A{A}_1=2$，建系 $C(0,0,0),B(1,0,0),A(0,1,0),C_1(0,0,2),D(0,1,1)$。

$\overrightarrow{D{C}_1}=(0,-1,1)$，$\overrightarrow{BC}=(-1,0,0)$，$\overrightarrow{D{C}_1}\cdot \overrightarrow{BC}=0$，故 $D{C}_1\perp BC$。

(2) 平面 $A_{1}BD$ 与平面 $C_{1}BD$ 的法向量夹角余弦 $=\frac{\sqrt{3}}{2}$，二面角 $=30^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线线垂直的判定

核心方法：二面角的求法

避坑指南：空间向量坐标法

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于立体几何垂直与角

结论推广：可推广到直棱柱、正棱锥的线面角、二面角

方法推广：建系后用法向量求二面角

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2005-湖南卷理-17 解-面面垂直的性质

• 2006-江西卷理-20 解-空间直角坐标系与空间向量的应用

• 2008-北京卷文-16 解-三棱锥垂直与二面角