2013-上海卷文-09 填-二倍角求值

本题导读

本题考查两角和与差的余弦公式，以及二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(文)） 若 $\cos x\cos y+\sin x\sin y=\frac{1}{3}$，则 $\cos (2x-2y)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 合并角：$\cos x\cos y+\sin x\sin y=\cos (x-y)=\frac{1}{3}$。
2. 二倍角：$\cos (2x-2y)=\cos 2(x-y)=2{\cos }^2(x-y)-1$。
3. $=2\times \frac{1}{9}-1=-\frac{7}{9}$。

✅【答案】

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$-\frac{7}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

由两角差的余弦公式 $\cos x\cos y+\sin x\sin y=\cos (x-y),$ 故 $\cos (x-y)=\frac{1}{3}$。 由二倍角公式（余弦） $\cos (2x-2y)=\cos 2(x-y)=2{\cos }^2(x-y)-1=2\times {\left(\frac{1}{3}\right)}^2-1=\frac{2}{9}-1=-\frac{7}{9}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两角差的余弦与二倍角

核心方法：$\cos x\cos y+\sin x\sin y=\cos (x-y)=\frac{1}{3}$ → $\cos (2x-2y)=2{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-1=-\frac{7}{9}$

避坑指南：逆用两角差余弦公式先”合并”成一个角 $\cos (x-y)$，再用二倍角公式升幂；把 $\cos (x-y)=\frac{1}{3}$ 误当 $\sin (x-y)$ 或平方后忘减 $1$ 都会出错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“合并角 + 二倍角”是三角恒等变换求值的最短路径，与 2013 四川文 14 的二倍角求值题同法。

结论推广：$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$；$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1=1-2{\sin }^2\theta$。凡求 $\cos 2\theta$ 且已知 $\cos \theta$，用 $2{\cos }^2\theta -1$ 一步到位。

方法推广：看到”两项乘积之和”的三角式，先识别它是某个和差角的展开式（逆用公式合并角），再做倍角/降幂，切勿逐项展开硬算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-14 填-二倍角求值
• 2013-北京卷文-15 解-三角恒等变换求角
• 2013-山东卷文-07 单-解三角形倍角