2012-江西卷文-02 单-不等式解集与补集

本题导读

本题考查集合的描述式与区间表示，以及补集运算。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(文)） 若全集 $U=\{x\in \mathbf{R}\mid x^2⩽4\}$，集合 $A=\{x\in \mathbf{R}\mid |x+1|⩽1\}$，则 ${\complement }_{U}A$ 为()

A. $\{x\in \mathbf{R}\mid 0<x<2\}$　　　　B. $\{x\in \mathbf{R}\mid 0⩽x<2\}$　　　　C. $\{x\in \mathbf{R}\mid 0<x⩽2\}$　　　　D. $\{x\in \mathbf{R}\mid 0⩽x⩽2\}$

🔍【思路分析】

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$U=[-2,2]$，$A=[-2,0]$，${\complement }_{U}A=(0,2]$，故选 C

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$x^2⩽4⟺-2⩽x⩽2$，故 $U=[-2,2]$。

$|x+1|⩽1⟺-2⩽x⩽0$，故 $A=[-2,0]$。

所以 ${\complement }_{U}A=(0,2]$，即 $\{x\in \mathbf{R}\mid 0<x⩽2\}$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：一元二次不等式与绝对值不等式的解法；补集的端点取舍

核心方法：解不等式把描述法化成区间，再在全集内取补集，端点是否取到逐一核对

避坑指南：$0$ 属于 $A$（$|0+1|=1⩽1$），故补集中不含 $0$，应开区间；$2$ 属于 $U$ 不属于 $A$，应保留，选错 (B) 的同学就是丢了右端点 $2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解不等式后取补集题，与 2012 年山东卷文第 2 题、2012 年广东卷文第 2 题同族。

结论推广：$x^2⩽a^2⟺-a⩽x⩽a$；$|x+c|⩽a⟺-a-c⩽x⩽a-c$。补集运算牢记”等号跟随原集合”。

方法推广：集合小题的通用流程：化不等式为区间 → 画数轴 → 取补 → 核对端点开闭。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2012-山东卷文-02 单-集合的补集与并集
• 2012-广东卷文-02 单-集合的补集运算
• 2012-浙江卷文-01 单-集合补集交集