2011-北京卷文-01 单-集合补集区间

本题导读

本题考查一元二次不等式的解法，以及集合的补集运算。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(文)） 已知全集 $U=\mathrm{R}$，集合 $P=\{x\mid x^2⩽1\}$，那么 ${\complement }_{U}P=$ ()

A. $(-\infty ,-1]$　　　B. $[1,+\infty )$　　　C. $(-1,1)$　　　D. $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：先解 $x^2⩽1$ 得 $P=[-1,1]$
2. 步骤2：再在 $\mathrm{R}$ 中取补集

✅【答案】

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D${\complement }_{U}P=(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

由 $x^2⩽1$ 得 $-1⩽x⩽1$，即 $P=[-1,1]$。

补集要去掉 $[-1,1]$ 含端点，故 ${\complement }_{U}P=(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$。选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次不等式与区间端点的开闭

核心方法：先解集后补集：端点 $-1,1$ 属于 $P$，补集中必须去掉

避坑指南：补集端点开闭与原集合相反：$P$ 含端点则补集不含；选 A、B 都是只取了一半区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合补集小题与 2012-江西卷文-02、2012-浙江卷文-01、2013-大纲卷文-01 同族。

结论推广：推广：${\complement }_{\mathrm{R}}[a,b]=(-\infty ,a)\cup (b,+\infty )$；若 $P=\{x\mid x^2<1\}$ 则补集含端点。

方法推广：补集小题：先化简原集合（解不等式），再按端点开闭取反；用数轴最直观。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2012-江西卷文-02 单-不等式解集与补集
• 2012-浙江卷文-01 单-集合补集交集
• 2013-大纲卷文-01 单-集合补集