2012-重庆卷文-02 单-分式不等式的解集

本题导读

本题考查分式不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(文)） 不等式 $\frac{x-1}{x+2}<0$ 的解集为()

A. $(1,+\infty )$　　　B. $(-\infty ,-2)$　　　C. $(-2,1)$　　　D. $(-\infty ,-2)\cup (1,+\infty )$

🔍【思路分析】

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分式不等式先移项使右边为 $0$，再把分子分母同号化：$\frac{x-1}{x+2}<0$ 等价于 $(x-1)(x+2)<0$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{x-1}{x+2}<0$ 等价于 $(x-1)(x+2)<0$（分母不为零自动保证）。

二次不等式的两根为 $x=-2$ 与 $x=1$，开口向上，取两根之间。

故解集为 $(-2,1)$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式不等式与二次不等式的等价转化；同号相除为正、异号相除为负

核心方法：形如 $\frac{f(x)}{g(x)}<0$（$g(x)\ne 0$）恒等价于 $f(x)g(x)<0$，不必分情况讨论分子分母符号

避坑指南：解集端点不包含：$x=-2$ 使分母为零必须排除，$x=1$ 使左边为 $0$ 不满足严格不等号，两端都取开区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分式不等式求解题，与 2013 年上海卷文第 1 题、2013 年江西卷文第 6 题同族。

结论推广：一般地 $\frac{f(x)}{g(x)}⩾0$ 等价于 $f(x)g(x)⩾0$ 且 $g(x)\ne 0$，端点是否可取由”分母非零 + 不等号是否带等”共同决定。

方法推广：含分式的整式化变形只改变”式”，不改变”解”，转化后务必回头检验使分母为零的点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-01 填-分式不等式
• 2013-江西卷文-06 单-分式不等式链
• 2025-新高考II卷-04 单-分式不等式