2012-江西卷理-08 单-线性规划

本题导读

本题考查简单的线性规划问题，以及平面区域的确定。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(理)） 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

| | 年产量/亩 | 年种植成本/亩 | 每吨售价 | | 黄瓜 | 4 吨 | 1.2 万元 | 0.55 万元 | | 韭菜 | 6 吨 | 0.9 万元 | 0.3 万元 |

为使一年的种植总利润（总利润 $=$ 总销售收入 $-$ 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为 ()

A. 50, 0　　　　B. 30, 20　　　　C. 20, 30　　　　D. 0, 50

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设置未知数，明确经济效能函数：

• 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 $x$ 亩和 $y$ 亩。由实际意义知 $x\ge 0,y\ge 0$。
• 先求每亩的利润：
  • 黄瓜每亩销售收入为 $4\times 0.55=2.2$ 万元，每亩净利润为 $2.2-1.2=1.0$ 万元；
  • 韭菜每亩销售收入为 $6\times 0.3=1.8$ 万元，每亩净利润为 $1.8-0.9=0.9$ 万元。
• 目标函数（总利润）为： $z=x+0.9y$。

2. 构建约束条件不等式组（可行域）：

• 面积约束： $x+y\le 50$；
• 资金约束： $1.2x+0.9y\le 54⟹4x+3y\le 180$。

3. 求解可行域临界顶点：

• 线性规划的最大值必然在可行域的凸顶点（多边形边界交点或轴截点）处取得。
• 分别解出两约束直线的交点以及它们与坐标轴的有效截点，代入目标函数 $z$ 比较大小，即可锁定最优解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设黄瓜的种植面积为 $x$ 亩，韭菜的种植面积为 $y$ 亩，且 $x\ge 0,y\ge 0$。

根据题意，计算单亩净利润：

• 黄瓜单亩净利润 $=4\times 0.55-1.2=2.2-1.2=1$ 万元
• 韭菜单亩净利润 $=6\times 0.3-0.9=1.8-0.9=0.9$ 万元 所以，一年的种植总利润目标函数为： $z=x+0.9y$

根据题目中的限制条件，列出二元一次不等式组： $\{\begin{array}{l}x+y\le 50\\ 1.2x+0.9y\le 54\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x+y\le 50\\ 4x+3y\le 180\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$

在平面直角坐标系中，该不等式组确定的可行域是由各个临界边界围成的四边形区域。其凸顶点坐标分别为：

1. 原点： $O(0,0)$
2. $y$ 轴截点：由 $x=0$ 代入 $x+y=50$ 且满足 $4x+3y\le 180$，得 $M(0,50)$；
3. $x$ 轴截点：由 $y=0$ 代入 $4x+3y=180$ 且满足 $x+y\le 50$，得 $N(45,0)$；
4. 两直线交点：联立方程组： $\{\begin{array}{l}x+y=50\\ 4x+3y=180\end{array}$ 由第一式得 $y=50-x$，代入第二式： $4x+3(50-x)=180⟹x+150=180⟹x=30$。 代入求得 $y=20$。 得到交点坐标为 $P(30,20)$。

将各顶点坐标依次代入目标函数 $z=x+0.9y$ 中进行最大值校验：

• 代入 $O(0,0)$： $z=0$
• 代入 $M(0,50)$： $z=0+0.9\times 50=45$ 万元
• 代入 $N(45,0)$： $z=45+0.9\times 0=45$ 万元
• 代入 $P(30,20)$： $z=30+0.9\times 20=30+18=48$ 万元

通过定量对比，当 $x=30,y=20$ 时，总利润 $z$ 取得最大值 48 万元。

故选 B#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：单亩利润的代数转化、线性规划限制边界的数学建模、多边形可行域顶点的求取。
2. 核心方法：顶点代入验证法。由于线性目标函数的最值一定落在可行域多边形的顶点上，直接解出交点和截点并代入比较，是选择题中比平移基准线更稳妥、更快速的手段。
3. 避坑指南：

• 极易在目标函数的构建上翻车。表格中给出的是“售价”，而题目要求的是“利润”。切勿直接用售价作为系数误写成 $z=0.55\times 4x+0.3\times 6y=2.2x+1.8y$，必须扣除种植成本。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学老教材必修五第三章《不等式》中关于线性规划实际应用的典型高考真题。
2. 结论推广：在运筹学中，本题属于最基础的资源分配型线性规划问题（Resource Allocation Problem）。其一般化矩阵表达形式为：在约束 $A\mathbf{x}\le \mathbf{b}(\mathbf{x}\ge 0)$ 下，求解 $\max {\mathbf{c}}^T\mathbf{x}$。在二维空间中，可行域边界直线簇斜率 $-1$ 与 $-\frac{4}{3}$ 构成的临界剪刀差，决定了目标目标函数斜率 $-\frac{1}{0.9}=-\frac{10}{9}$ 的最优点必卡在两直线的交点（即资源刚好全部耗尽的平衡点）处。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2004-江苏卷-19 解-简单的线性规划问题
• 2013-陕西卷理-13 填-简单的线性规划问题
• 2014-山东卷理-09 单-简单的线性规划问题