2013-陕西卷理-13 填-简单的线性规划问题

本题导读

本题考查线性规划，以及简单的线性规划问题。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(理)） 若点 $(x,y)$ 位于曲线 $y=|x-1|$ 与 $y=2$ 所围成的封闭区域，则 $2x-y$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 作图确定可行域：
   • 绘制 $y=|x-1|$ 的图象（V 字形，顶点在 $(1,0)$）。
   • 绘制直线 $y=2$。
   • 确定两条曲线围成的三角形封闭区域，并求出三个顶点坐标。
2. 设定目标函数：令 $z=2x-y$，将其转化为直线方程 $y=2x-z$。
3. 几何意义分析：目标函数 $z$ 的最小值对应直线 $y=2x-z$ 在 $y$ 轴上截距 $-z$ 的最大值。
4. 平移寻找最优解：在可行域内平行移动斜率为 $2$ 的直线，观察经过哪个顶点时截距最大（或 $z$ 最小）。

✅【答案】

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$-4$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求可行域顶点 联立 $y=|x-1|$ 与 $y=2$：

• 当 $x\ge 1$ 时，$x-1=2⟹x=3$，得交点 $A(3,2)$。
• 当 $x<1$ 时，$-(x-1)=2⟹x=-1$，得交点 $B(-1,2)$。 绝对值函数的顶点为 $C(1,0)$。 可行域即为以 $A,B,C$ 为顶点的三角形区域及其内部。

第二步：分析目标函数 设目标函数为 $z=2x-y$，变换为 $y=2x-z$。 这是一组斜率为 $2$ 的平行直线，其截距为 $-z$。

第三步：寻找最优值点 将直线 $y=2x$ 在区域内平移：

• 当直线经过点 $A(3,2)$ 时，$z=2(3)-2=4$。
• 当直线经过点 $B(-1,2)$ 时，$z=2(-1)-2=-4$。
• 当直线经过点 $C(1,0)$ 时，$z=2(1)-0=2$。

比较可知，当直线经过区域左上角顶点 $B(-1,2)$ 时，$z$ 取得最小值 $-4$。 （此时截距 $-z=4$ 为最大值）。

故填入答案为：$-4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性目标函数 $z=Ax+By+C$ 的最值通常在可行域的顶点处取得。

核心方法：数形结合。对于选择填空题，画出准确的示意图能快速判断最优解的方向，避免复杂的代数运算。

避坑指南：注意 $y$ 前面的符号。如果 $y$ 的系数为负（如本题 $-y$），则 $z$ 的最小值对应直线截距的最大值，平移时不要看反了方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二元一次不等式组表示的平面区域、解析几何中的截距式。

结论推广：对于封闭的凸多边形区域，线性函数的最值必在边界或顶点上。

方法推广：若目标函数是非线性的（如 $x^2+y^2$），则几何意义转化为距离的平方。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-11 单-线性规划
• 2015-福建卷文-10 单-线性规划
• 2015-湖南卷文-04 单-线性规划