2012-浙江卷文-22 解-抛物线中点弦与面积最值

本题导读

本题考查抛物线的定义与标准方程。核心在于定义法、函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(文)） 如图，在直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P\left(1,\frac{1}{2}\right)$ 到抛物线 $C$：$y^2=2px$（$p>0$）的准线的距离为 $\frac{5}{4}$. 点 $M(t,1)$ 是 $C$ 上的定点，$A$，$B$ 是 $C$ 上的两动点，且线段 $AB$ 被直线 $OM$ 平分.

(1)求 $p$，$t$ 的值；

(2)求 $△ABP$ 面积的最大值.

!

🔍【思路分析】

破题导航

（1）$1+\frac{p}{2}=\frac{5}{4}$ 得 $p=\frac{1}{2}$，$t=1$；（2）设 $y_1+y_2=s$，$S=\frac{1}{4}\sqrt{1-u^2}(1+u^2)$（$u=s-1$），最大值 $\frac{\sqrt{6}}{9}$。

✅【答案】

点击查看答案

(1)$p=\frac{1}{2}$，$t=1$；(2)$△ABP$ 面积的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）抛物线 $y^2=2px$ 的准线为 $x=-\frac{p}{2}$，$P\left(1,\frac{1}{2}\right)$ 到准线的距离为 $1+\frac{p}{2}=\frac{5}{4}$，故 $p=\frac{1}{2}$，抛物线为 $y^2=x$。

$M(t,1)$ 在 $C$ 上，故 $1^2=t$，$t=1$，直线 $OM$ 为 $y=x$。

（2）设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则 $x_1=y_1^2$，$x_2=y_2^2$。$AB$ 的中点在直线 $y=x$ 上，故 $x_1+x_2=y_1+y_2$。记 $s=y_1+y_2$（$s\ne 0$），则

$y_1^2+y_2^2=s$，即 $s^2-2y_1{y}_2=s$，故 $y_1{y}_2=\frac{s^2-s}{2}$。

直线 $AB$ 的斜率 $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{1}{y_1+y_2}=\frac{1}{s}$，由中点 $\left(\frac{s}{2},\frac{s}{2}\right)$ 得 $AB$：$x-sy+\frac{s(s-1)}{2}=0$。

弦长：$|y_1-y_2{|}^2=s^2-4\cdot \frac{s^2-s}{2}=2s-s^2>0$，故 $0<s<2$，且 $|AB|=\sqrt{1+s^2}\cdot \sqrt{2s-s^2}$。

点 $P(1,\frac{1}{2})$ 到 $AB$ 的距离 $d=\frac{\left|1-\frac{s}{2}+\frac{s(s-1)}{2}\right|}{\sqrt{1+s^2}}=\frac{s^2-2s+2}{2\sqrt{1+s^2}}$。

于是 $S_{△ABP}=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{1}{4}\sqrt{2s-s^2}(s^2-2s+2)$。

令 $u=s-1\in (-1,1)$，则 $2s-s^2=1-u^2$，$s^2-2s+2=u^2+1$，故 $S^2=\frac{1}{16}(1-u^2)(1+u^2{)}^2$。

设 $g(u)=(1-u^2)(1+u^2{)}^2$，$g^{\prime }(u)=2u(1+u^2)(1-3u^2)$，故 $g$ 在 $u=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ 处取最大值 $\left(1-\frac{1}{3}\right){\left(1+\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{32}{27}$（比较 $g(0)=1<\frac{32}{27}$）。

故 $S_{\max }=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{32}{27}}=\frac{\sqrt{6}}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的准线与定义；点差法（中点弦）；弦长公式与面积最值

核心方法：用准线定义定 $p$；把”中点在 $y=x$ 上”翻译成 $x_1+x_2=y_1+y_2$ 得参数 $s$；面积化为 $u$ 的函数后求导取最值

避坑指南：$s\ne 0$（$s=0$ 时 $A$、$B$ 横坐标相同不能构成弦）且 $0<s<2$（保证 $|y_1-y_2|$ 为实）；$g^{\prime }(u)$ 的零点 $u^2=\frac{1}{3}$ 处 $g=\frac{32}{27}$，别与 $g(0)=1$ 弄反大小。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线中点弦与面积最值压轴题，与 2014 年四川卷文第 10 题、2013 年安徽卷理第 13 题同族。

结论推广：抛物线 $y^2=2px$ 上弦的中点 $(x_0,y_0)$ 与斜率满足 $k=\frac{p}{y_0}$（点差法）。

方法推广：圆锥曲线面积最值通法：选定参数（如纵坐标和 $s$），弦长与距离分别表出，$S^2$ 化为参数的初等函数，求导或换元定最值，最后核对参数范围。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2014-四川卷文-10 单-抛物线面积最值
• 2013-安徽卷理-13 填-抛物线与直线的关系
• 2013-四川卷理-06 单-抛物线的标准方程与焦点坐标