2013-安徽卷理-13 填-抛物线与直线的关系

本题导读

本题考查抛物线，以及抛物线与直线的关系。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(理)） 已知直线 $y=a$ 交抛物线 $y=x^2$ 于 $A,B$ 两点.若该抛物线上存在点 $C$，使得 $\angle ACB$ 为直角，则 $a$ 的取值范围为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定 $A,B$ 点坐标：联立 $y=a$ 与 $y=x^2$，解出 $x=\pm \sqrt{a}$（前提是 $a>0$）。

2. 设点并建立向量：设点 $C(x_0,x_0^2)$。$\angle ACB=90^{\circ }$ 等价于向量 $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=0$。

3. 建立等式：利用坐标运算写出数量积方程。

4. 转化存在性问题：方程 $(x_0^2-a)(x_0^2-a+1)=0$ 在 $x_0\in \mathbb{R}$ 时有解，意味着存在某个 $x_0^2$ 满足等式。由于 $x_0^2\ge 0$，需分析方程两根与 $0$ 的大小关系。

✅【答案】

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$[1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求出 $A,B$ 点坐标

由 $\{\begin{array}{l}y=a\\ y=x^2\end{array}$ 得 $x^2=a$。因为直线与抛物线有两个交点，所以 $a>0$。

设 $A(\sqrt{a},a),B(-\sqrt{a},a)$。

第二步：利用向量垂直建立方程

设 $C(x,x^2)$ 是抛物线上异于 $A,B$ 的一点。

$\overrightarrow{CA}=(\sqrt{a}-x,a-x^2)$，$\overrightarrow{CB}=(-\sqrt{a}-x,a-x^2)$。

因为 $\angle ACB=90^{\circ }$，所以 $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=0$。

$(\sqrt{a}-x)(-\sqrt{a}-x)+(a-x^2)(a-x^2)=0$

$-(a-x^2)+(a-x^2{)}^2=0$

$(a-x^2)(a-x^2-1)=0$

第三步：讨论解的情况

1. 若 $a-x^2=0$，即 $x^2=a$，此时点 $C$ 与点 $A$ 或 $B$ 重合，不符合三角形定义（需排除）。

2. 若 $a-x^2-1=0$，即 $x^2=a-1$。

   由于点 $C$ 在抛物线上且存在，必须满足 $x^2\ge 0$。

   所以 $a-1\ge 0⟹a\ge 1$。

第四步：检验特殊情况

当 $a=1$ 时，$x^2=0$，即 $C(0,0)$ 为原点。此时 $A(1,1),B(-1,1)$。

$\overrightarrow{CA}=(1,1),\overrightarrow{CB}=(-1,1)$，数量积 $1(-1)+1(1)=0$，符合要求。

最终答案： $[1,+\infty )$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直的充要条件 $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$；解析几何中的存在性问题转化。

核心方法：“代数转换法”。将几何上的“垂直”转化为代数上的“乘积为零”，再将“存在点”转化为“方程在特定域内有解”。

避坑指南：注意点 $C$ 不能与 $A,B$ 重合。在本题中，方程分解出了 $x^2=a$ 和 $x^2=a-1$，由于 $a\ne a-1$，两组解不会同时让 $C$ 落在 $A,B$ 上，因此只需确保 $x^2=a-1\ge 0$ 即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线中的定值与最值问题、直线与圆的位置关系。

结论推广：若 $C$ 是以 $AB$ 为直径的圆与抛物线的交点，则 $\angle ACB=90^{\circ }$。

方法推广：涉及垂直关系，优先考虑斜率乘积为 $-1$ 或向量数量积为 $0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 09.03 平面向量的数量积
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-10 多-抛物线
• 2014-福建卷文-21 解-抛物线
• 2014-湖南卷文-14 填-抛物线