2012-湖北卷文-08 单-连续整数边解三角形

本题导读

本题考查正弦定理，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(文)） 设 $△ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$. 若三边的长为连续的三个正整数，且 $A>B>C$，$3b=20a\cos A$，则 $\sin A:\sin B:\sin C$ 为()

A. $4:3:2$　　　　　B. $5:6:7$　　　　　C. $5:4:3$　　　　　D. $6:5:4$

🔍【思路分析】

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设 $a=n+2$，$b=n+1$，$c=n$，代入条件解得 $n=4$，三边为 $6,5,4$，正弦比等于边比 $6:5:4$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $A>B>C$ 及大边对大角，得 $a>b>c$，故可设 $a=n+2$，$b=n+1$，$c=n$（$n$ 为正整数）。

由余弦定理：$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{(n+1{)}^2+n^2-(n+2{)}^2}{2n(n+1)}=\frac{n^2-2n-3}{2n(n+1)}=\frac{(n-3)(n+1)}{2n(n+1)}=\frac{n-3}{2n}$。

代入 $3b=20a\cos A$：$3(n+1)=20(n+2)\cdot \frac{n-3}{2n}$，即 $3n(n+1)=10(n+2)(n-3)$，整理得 $7n^2-13n-60=0$，解得 $n=4$（负根舍去）。

故 $a=6$，$b=5$，$c=4$。由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，得 $\sin A:\sin B:\sin C=a:b:c=6:5:4$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：大边对大角；余弦定理；正弦定理的边角互化

核心方法：按大小顺序设连续整数，用余弦定理把 $\cos A$ 化为 $n$ 的表达式，解方程后用正弦定理回到边比

避坑指南：正弦之比就是边之比（正弦定理），不必真求各角；设元时务必让 $a>b>c$ 与 $A>B>C$ 对应，把 $a$ 设成最小值就会解出错的三边。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：连续整数边长的解三角形题，与 2013 年天津卷文第 16 题、2013 年湖南卷文第 5 题同族。

结论推广：三边为连续正整数 $n,n+1,n+2$ 时，最大角的余弦 $\cos A=\frac{n-3}{2n}$，随 $n$ 增大而趋近 $\frac{1}{2}$。

方法推广：解三角形选择题的终点常是”边比即正弦比”，先判结构再动笔，可省去求角的三角函数值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-16 解-正余弦定理解三角形
• 2013-湖南卷文-05 单-正弦定理求角
• 2013-北京卷文-05 单-正弦定理