2012-湖北卷文-12 填-复数相等

本题导读

本题考查复数的除法运算，以及复数相等的充要条件。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(文)） 若 $\frac{3+bi}{1-i}=a+bi$（$a$，$b$ 为实数，$i$ 为虚数单位），则 $a+b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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左式 $=\frac{3-b}{2}+\frac{3+b}{2}i$，由复数相等得 $b=3$，$a=0$，$a+b=3$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

$\frac{3+bi}{1-i}=\frac{(3+bi)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{3+3i+bi+b{i}^2}{2}=\frac{3-b}{2}+\frac{3+b}{2}i$。

由复数相等的充要条件：$\frac{3-b}{2}=a$，$\frac{3+b}{2}=b$。

由第二式得 $3+b=2b$，即 $b=3$；代入第一式得 $a=0$。

故 $a+b=3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件

核心方法：分母实数化（乘共轭）化成 $x+yi$ 形式，再由实虚部分别相等列方程

避坑指南：$i^2=-1$ 使实部出现 $-b$，别写成 $3+b$；相等条件是”实部与实部、虚部与虚部分别相等”，两个方程都要用上。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数相等求参题，与 2014 年山东卷理第 1 题、2014 年天津卷理第 1 题同族。

结论推广：$\frac{z}{1-i}=\frac{(1+i)z}{2}$；一般地 $\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$。

方法推广：复数除法固定三步：乘共轭、展开降幂、分离实虚部，然后按”实虚部分别相等”转成实数方程组。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷理-01 单-复数的相等与共轭
• 2014-天津卷理-01 单-复数代数形式的乘除运算
• 2014-新课标I卷理-02 单-复数的乘除与幂运算