2014-新课标I卷理-02 单-复数的乘除与幂运算

本题导读

本题考查复数的代数运算。通过掌握特殊复数 $(1\pm i{)}^2$ 的计算结果，可以大幅简化高次幂及分式的化简过程。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(理)） $\frac{(1+i{)}^3}{(1-i{)}^2}=$ ()

A. $1+i$　　　　B. $1-i$　　　　C. $-1+i$　　　　D. $-1-i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用特殊结论：在复数运算中，$(1+i{)}^2=2i$ 和 $(1-i{)}^2=-2i$ 是非常高频的结论，应优先套用。
2. 拆分幂次：将分子的 $(1+i{)}^3$ 拆分为 $(1+i{)}^2\cdot (1+i)$。
3. 约分化简：代入结论后进行分式约分，得出最终结果。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简分母 根据完全平方公式： $(1-i{)}^2=1-2i+i^2=1-2i-1=-2i$

第二步：化简分子 同样地，有 $(1+i{)}^2=2i$。 则分子部分为： $(1+i{)}^3=(1+i{)}^2\cdot (1+i)=2i(1+i)$

第三步：分式求值 将上述结果代入原式： $\frac{(1+i{)}^3}{(1-i{)}^2}=\frac{2i(1+i)}{-2i}$ 约去 $2i$ 得： $\frac{1+i}{-1}=-1-i$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的代数运算法则。

2. 核心方法：利用特殊复数性质（如 $(1+i{)}^2=2i$）快速化简。

3. 避坑指南：若直接将分子分母全部展开再进行分母实数化，虽然能得出正确答案，但计算量较大，容易在符号上出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 复数的模、复平面的几何意义。

2. 结论推广: 对于 $\frac{(1+i{)}^n}{(1-i{)}^n}=(\frac{1+i}{1-i}{)}^n=i^n$，利用 $i$ 的周期性可快速求解。

3. 方法推广: 涉及复数的高次幂运算时，通常先寻找其平方或立方的简便形式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-湖北卷文-01 单-复数幂运算
• 2015-湖南卷文-01 单-复数运算
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