2012-辽宁卷文-13 填-三视图体积

本题导读

本题考查三视图的还原，以及组合体的体积。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(文)） 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为$\underline{}$.

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🔍【思路分析】

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长方体 $4\times 3\times 1=12$，圆柱 $\pi \times 1^2\times 1=\pi$，故 $V=12+\pi$。

✅【答案】

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$12+\pi$

✍【详细解析】

Abstract

由三视图：正视图下方是长 $4$、高 $1$ 的矩形，上方是宽 $2$、高 $1$ 的矩形；侧视图下方是宽 $3$、高 $1$ 的矩形，上方是宽 $2$、高 $1$ 的矩形；俯视图是长 $4$、宽 $3$ 的矩形，内部一个圆。

所以该几何体是一个组合体：下部是长、宽、高分别为 $4$，$3$，$1$ 的长方体，上部是底面半径为 $1$（直径 $2$）、高为 $1$ 的圆柱，且圆柱位于长方体上表面正中。

$V_{\text{长方体}}=4\times 3\times 1=12$，$V_{\text{圆柱}}=\pi \times 1^2\times 1=\pi$。

故 $V=12+\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图的识读与还原；长方体与圆柱的体积公式

核心方法：正视图定长与上下结构、侧视图定宽与高、俯视图定底面形状，还原组合体后分块算体积

避坑指南：正视图中上方的”宽 $2$“对应俯视图中的圆的直径（$2r=2$），圆柱半径是 $1$ 不是 $2$；侧视图上方的 $0.5+2+0.5$ 说明圆柱在正中，若错把上部当成宽 $2$ 的四棱柱，会误得 $V=16$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图求组合体体积题，与 2012 年湖北卷文第 15 题、2012 年天津卷文第 10 题同族。

结论推广：长方体体积 $=$ 长 $\times$ 宽 $\times$ 高；圆柱体积 $V=\pi r^{2}h$；三视图中”上下两段”通常对应组合体的上下两部分，宽度对应关系要经俯视图核对。

方法推广：三视图还原口诀”长对正、高平齐、宽相等”，先定整体是柱、锥、台还是组合体，再分块计算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2012-湖北卷文-15 填-三视图圆柱组合体积
• 2012-天津卷文-10 填-三视图求体积
• 2012-新课标卷文-07 单-三视图体积