2012-湖北卷文-19 解-四棱台棱柱表面积

本题导读

本题考查线面垂直的判定。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(文)）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A B C D$ ，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱 $A B C D - A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ .

(1)证明：直线 $B_{1} D_{1}$ 垂直于平面 $A C C_{2} A_{2}$ ；

(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理. 已知 $A B = 10$ ， $A_{1} B_{1} = 20$ ， $A A_{2} = 30$ ， $A A_{1} = 13$ （单位：厘米），每平方厘米的加工处理费用为 $0.20$ 元. 需加工处理费多少元？

!

🔍【思路分析】

破题导航

$A C ⊥ B D$ 且 $A_{2} A ⊥ B D$ 、 $B_{1} D_{1} ∥ B D$ 得 $B_{1} D_{1} ⊥$ 平面 $A C C_{2} A_{2}$ ；表面积 $1300 + 1120 = 2420$ 平方厘米，费用 $484$ 元。

✅【答案】

点击查看答案

(1)见解析；(2) $484$ 元

✍【详细解析】

Abstract

（1）因为四棱柱 $A B C D - A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ 的侧面是全等的矩形，所以 $A_{2} A ⊥ A B$ ， $A_{2} A ⊥ A D$ 。

又 $A B \cap A D = A$ ，所以 $A_{2} A ⊥$ 平面 $A B C D$ 。

连接 $B D$ ，因为 $B D$ 在平面 $A B C D$ 内，所以 $A_{2} A ⊥ B D$ 。

因为底面 $A B C D$ 是正方形，所以 $A C ⊥ B D$ 。

根据棱台的定义可知， $B D$ 与 $B_{1} D_{1}$ 共面。又平面 $A B C D$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 平行，且平面 $B B_{1} D_{1} D$ 与两底面分别交于 $B D$ 、 $B_{1} D_{1}$ ，所以 $B_{1} D_{1} ∥ B D$ 。

于是由 $A_{2} A ⊥ B D$ ， $A C ⊥ B D$ ， $B_{1} D_{1} ∥ B D$ ，得 $A_{2} A ⊥ B_{1} D_{1}$ ， $A C ⊥ B_{1} D_{1}$ 。

又 $A_{2} A \cap A C = A$ ，所以 $B_{1} D_{1} ⊥$ 平面 $A C C_{2} A_{2}$ 。

（2）四棱柱 $A B C D - A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ 的底面是边长 $10$ 的正方形，高 $A A_{2} = 30$ ，其表面积（不含与棱台重合的底面）为

$S_{1} = 10 \times 10 + 4 \times (10 \times 30) = 100 + 1200 = 1300$ （平方厘米）。

四棱台的下底面是边长 $20$ 的正方形；其侧面是全等的等腰梯形，两底长分别为 $10$ 与 $20$ ，腰 $A A_{1} = 13$ ，由等腰梯形性质，梯形的高为

$1 3^{2} - (\frac{20 - 10}{2})^{2} = 169 - 25 = 12$ （厘米）。

故四棱台的表面积（不含与棱柱重合的底面）为

$S_{2} = 20 \times 20 + 4 \times [\frac{( 10 + 20 ) \times 12}{2}] = 400 + 720 = 1120$ （平方厘米）。

于是该零部件的表面积为 $S = S_{1} + S_{2} = 1300 + 1120 = 2420$ （平方厘米），

所需加工处理费为 $2420 \times 0.20 = 484$ （元）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的判定定理；面面平行的性质定理；棱柱、棱台侧面积的计算

核心方法：垂直证明走”线线垂直累积成线面垂直”，并用两底面平行推出 $B_{1} D_{1} ∥ B D$ ；面积按”外露面”分块清点

避坑指南：本图中外露面共有六类：棱柱的四个侧面与上底面、棱台的两个底面之一（下底面）与四个梯形侧面，两几何体重合的两个正方形底面不计入；等腰梯形的高用腰长 $13$ 与半底差 $5$ 算，得到 $12$ 而不是把 $13$ 直接当高。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：组合几何体垂直证明与表面积应用题，与 2013 年重庆卷文第 8 题、2013 年新课标Ⅰ文第 19 题同族。

结论推广：等腰梯形中，腰 $c$ 、两底 $a, b$ 与高 $h$ 满足 $h = c^{2} - (\frac{b - a}{2})^{2}$ ；正四棱台侧面展开即四个全等等腰梯形。

方法推广：立体几何应用题的费用（涂漆、防腐）类问题，先列”外露面清单”再逐面计算，最后乘单价，切勿漏掉或重复底面。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

13.03 空间点、线、面位置关系

13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

2013-新课标I卷文-19 解-线面垂直与棱柱体积

2013-重庆卷文-08 单-三视图四棱柱表面积

2014-新课标I卷文-19 解-线面垂直与棱柱高

∑ ( Math )

Explorer

2012-湖北卷文-19 解-四棱台棱柱表面积

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks