2012-湖北卷理-20 解-分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列。核心在于换元法、公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(理)） 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量 $X$（单位：$\text{mm}$）对工期 的影响如下表： | 降水量 $X$ | $X<300$ | $300\le X<700$ | $700\le X<900$ | $X\ge 900$ | | 工期延误天数 $Y$ | $0$ | $2$ | $6$ | $10$ |

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量 $X$ 小于 $300,700,900$ 的概率分别为 $0.3,0.7,0.9$.求：

(1)工期延误天数 $Y$ 的均值与方差；

(2)在降水量 $X$ 至少是 $300$ 的条件下，工期延误不超过 $6$ 天的概率.

🔍【思路分析】

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1. 求各个区间的独立概率：题目给出了累积概率，即 $P(X<300)=0.3$, $P(X<700)=0.7$, $P(X<900)=0.9$。利用互斥事件的加法公式，相邻区间的累积概率相减即可得到独立区间的概率，如 $P(300\le X<700)=P(X<700)-P(X<300)$。最后利用对立事件求出 $P(X\ge 900)$。
2. 构建分布列并计算均值与方差：将求出的概率与延误天数 $Y$ 的取值 $0,2,6,10$ 一一对应，建立分布列。利用均值公式 $E(Y)=\sum y_i{p}_i$ 和方差公式 $D(Y)=\sum (y_i-E(Y){)}^2{p}_i$ 计算出结果。
3. 运用条件概率公式求解：设“降水量 $X$ 至少是 $300$”为事件 $A$，“工期延误不超过 $6$ 天”为事件 $B$。本题求解的是条件概率 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$。准确找出交事件 $AB$ 对应的降水量区间，带入计算即可。

✅【答案】

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(1) $E(Y)=3$，$D(Y)=9.8$

(2) $\frac{6}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）工期延误天数 $Y$ 的均值与方差

由已知条件可知，降水量 $X$ 小于 $300,700,900$ 的概率分别为： $P(X<300)=0.3$ $P(X<700)=0.7$ $P(X<900)=0.9$

利用概率的加法公式与对立事件性质，分别求出各个不重叠子区间的概率： $P(X<300)=0.3$ $P(300\le X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4$ $P(700\le X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2$ $P(X\ge 900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1$

结合表格中降水量 $X$ 与工期延误天数 $Y$ 的对应映射关系，可得离散型随机变量 $Y$ 的可能取值为 $0,2,6,10$。 其对应的概率分布列如下表所示：

$Y$	$0$	$2$	$6$	$10$
$P$	$0.3$	$0.4$	$0.2$	$0.1$

根据离散型随机变量数学期望的定义，计算均值（数学期望） $E(Y)$： $E(Y)=0\times 0.3+2\times 0.4+6\times 0.2+10\times 0.1$ $E(Y)=0+0.8+1.2+1.0=3$

根据离散型随机变量方差的定义，计算方差 $D(Y)$： $D(Y)=(0-3{)}^2\times 0.3+(2-3{)}^2\times 0.4+(6-3{)}^2\times 0.2+(10-3{)}^2\times 0.1$ $D(Y)=(-3{)}^2\times 0.3+(-1{)}^2\times 0.4+3^2\times 0.2+7^2\times 0.1$ $D(Y)=9\times 0.3+1\times 0.4+9\times 0.2+49\times 0.1$ $D(Y)=2.7+0.4+1.8+4.9=9.8$

答：工期延误天数 $Y$ 的均值为 $3$，方差为 $9.8$。

（Ⅱ）求在给定条件下的条件概率

设“施工期间降水量 $X$ 至少是 $300$”为事件 $A$，则 $A$ 对应于 $X\ge 300$。 其概率可用对立事件求得： $P(A)=P(X\ge 300)=1-P(X<300)=1-0.3=0.7$

设“工期延误不超过 $6$ 天”为事件 $B$，由题意可知，这等价于 $Y\le 6$。 我们分析交事件 $AB$，即同时满足“ $X\ge 300$ 且 $Y\le 6$ ”。 结合表格，当 $X\ge 300$ 时：

• 若 $300\le X<700$，则 $Y=2\le 6$（符合要求）；
• 若 $700\le X<900$，则 $Y=6\le 6$（符合要求）；
• 若 $X\ge 900$，则 $Y=10>6$（不符合要求）。

因此，交事件 $AB$ 对应的降水量实际区间为 $300\le X<900$。 其概率为： $P(AB)=P(300\le X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6$

根据条件概率计算公式 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$，可得： $P(Y\le 6\mid X\ge 300)=\frac{P(300\le X<900)}{P(X\ge 300)}=\frac{0.6}{0.7}=\frac{6}{7}$

答：在降水量 $X$ 至少是 $300\text{mm}$ 的条件下，工期延误不超过 $6$ 天的概率为 $\frac{6}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：互斥事件累积概率的分解变换、分布列基本期望与方差公式的代数化简、条件概率的区间卡位。
2. 核心方法：区间对齐法。处理降水量这类连续区间分段的概率题，核心大招在于将文字叙述的“至少”、“不超过”精准转化为数学不等式区间，并通过作差消去重叠部分，从而转化为基础的离散型事件。
3. 避坑指南：

• 混淆累积概率与独立区间概率：题目给出的 $0.3,0.7,0.9$ 是 $X$ 小于某常数时的累积概率，不能直接作为分布列中的 $P$ 填入。必须通过分段相减（如 $0.7-0.3=0.4$ ）求出单段区间的独立概率。
• 条件概率分母漏算或错算：第二问是典型的条件概率，必须以“条件事件的概率 $P(A)=0.7$”作为分母，而不能直接用全空间的整体交事件概率 $0.6$ 作为最终答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第二章《随机变量及其分布》中关于离散型随机变量期望、方差及条件概率应用的章末综合复习解答题。
2. 结论推广：

• 分段阶梯分布列通用计算模型：在工程管理或风险评估中，常通过阶梯有界区间来量化连续损失。若变量 $X$ 的分段阈值序列为 $x_0,x_1,\dots ,x_n$，对应损失为 $y_0,y_1,\dots ,y_n$。
• 只要已知累积分布函数 $F(x_i)=P(X<x_i)$，其独立概率流恒表现为邻项差分形式 $p_i=F(x_i)-F(x_{i-1})$。掌握这一差分归化流程，无论未来将工期背景平移替换为经济损益或设备寿命，均能通过“一阶差分求分布列 $\to$ 代入公式求期望方差 $\to$ 缩减缩域求条件概率”的标准范式稳拿满分。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

• 23.01 条件概率与乘法公式 类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列

• 2014-新课标II卷理-05 单-条件概率公式

• 2007-山东卷理-18 解-条件概率