2012-湖南卷理-04 单-线性回归方程

本题导读

本题考查线性回归方程的统计意义，以及样本中心点的性质。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(理)） 设某大学的女生体重 $y$（单位：$\text{kg}$）与身高 $x$（单位：$\text{cm}$）具有线性相关关系，根据一组样本数据 $(x_i,y_i)(i=1,2,\dots ,n)$，用最小二乘法建立的回归方程为 $\hat{y}=0.85x-85.71$，则下列结论不正确的是()

A. $y$ 与 $x$ 具有正的线性相关关系

B. 回归直线过样本点的中心 $(\bar{x},\bar{y})$

C. 若该大学某女生身高增加 $1\text{cm}$，则其体重约增加 $0.85\text{kg}$

D. 若该大学某女生身高为 $170\text{cm}$，则可断定其体重必为 $58.79\text{kg}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 审视斜率符号与相关性（A选项）：回归方程中的斜率 $\hat{b}=0.85>0$，代表两个变量呈现同向变化趋势，属于正相关。
2. 审查中心点性质（B选项）：根据最小二乘法的代数推导，回归直线方程 $\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$ 满足 $\bar{y}=\hat{b}\bar{x}+\hat{a}$，说明其必然严格经过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$。
3. 辨析斜率的统计学含义（C选项）：斜率 $\hat{b}=0.85$ 表示自变量 $x$ 每增加 1 个单位，因变量 $y$ 的平均估计值增加 $0.85$ 个单位。含有“约”字，符合统计学的概率预报描述。
4. 辨析确定性关系与相关关系（D选项）：回归方程 $\hat{y}$ 计算出的是预测估计值，而非物理上的必然确定值。相关关系不同于函数关系，不能用“必为”等绝对化词汇进行判定。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

我们对四个选项的统计学概念和代数含义逐一进行严谨审视：

• A 选项：回归方程 $\hat{y}=0.85x-85.71$ 中，自变量 $x$ 的系数（斜率） $\hat{b}=0.85$。 因为 $\hat{b}>0$，说明身高 $x$ 与体重 $y$ 呈现同增同减的趋势，即 $y$ 与 $x$ 具有正的线性相关关系。该结论正确。
• B 选项：在最小二乘法拟合回归直线时，常数项 $\hat{a}$ 的计算公式为 $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$。 移项整理得 $\bar{y}=\hat{b}\bar{x}+\hat{a}$，这在几何上意味着样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$ 的坐标无条件满足回归方程。即回归直线必过样本中心点。该结论正确。
• C 选项：回归系数 $\hat{b}=0.85$ 的统计学含义是：自变量 $x$ 每变动 $1\text{cm}$ 时，因变量 $y$ 平均变动 $0.85\text{kg}$。 选项表述为“体重约增加 $0.85\text{kg}$”，符合回归分析的统计估计特征。该结论正确。
• D 选项：当身高 $x=170\text{cm}$ 时，代入回归方程可计算出对应的估计值： $\hat{y}=0.85\times 170-85.71=144.5-85.71=58.79\text{kg}$ 需要强调的是，这里的 $58.79\text{kg}$ 是该身高下所有女生体重的平均预测估计值（ $\hat{y}$ 带有草帽号，代表估计量），而由于随机误差的存在，现实中某一个具体女生的体重不可能被精确锁死。选项中使用“必为”一词，将相关关系错判为了绝对的函数确定关系，表述错误。

由于本题要求选择“不正确”的结论。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性回归方程系数 $\hat{b}$ 的正负号与相关性判定、回归直线过中心点性质、回归方程的“预报估算”本质。
2. 核心方法：概念微观辨析法。处理统计学回归分析的选择题时，核心大招在于抠字眼：关注“约”、“平均”、“估计”与“必为”、“一定”、“等于”的用词差异。
3. 避坑指南：

• 误将代数计算正确等同于结论正确：部分考生看到 D 选项中把 170 代入算出来确实是 58.79，就盲目判定 D 是正确的。切记，线性回归处理的是非确定性的相关关系，任何利用方程得到的因变量结果都只能叫“预报值”或“估计值”，绝对不能用确定性的词汇进行刚性断定。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第八章《成对数据的统计分析》中关于一元线性回归模型及其意义的基础概念型选择题。
2. 结论推广：

• 相关关系与函数关系的分水岭模型：在线性回归分析中，变量之间的关系表现为： $y=\hat{b}x+\hat{a}+e$
• 其中 $e$ 为随机误差项（残差）。正因为随机误差 $e$ 的客观存在，使得真实的观测值 $y$ 始终在一个以预测值 $\hat{y}$ 为期望的对称轴两侧呈概率分布。牢记“回归方程只能用于预报和趋势估计，无法提供绝对精准的个案预测”，可以快速得出所有此类统计主旨概念题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合 类题演练 (Links)

• 2013-福建卷文-11 单-线性回归比较

• 2013-重庆卷文-17 解-线性回归预测

• 2014-湖北卷理-04 单-回归分析