2012-湖南卷理-12 填-复数

本题导读

本题考查复数的完全平方公式展开，以及虚数单位的性质。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(理)） 已知复数 $z=(3+i{)}^2$（ $i$ 为虚数单位），则 $|z|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 因为复数 $z$ 是一个完全平方式，所以根据完全平方公式 $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ 将其代数展开。
2. 因为虚数单位满足 $i^2=-1$，所以将展开式合并同类项，化简为标准代数形式 $z=a+bi$。
3. 因为复数模的定义为 $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$，所以代入实部与虚部的值即可求出模长。

✅【答案】

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10

✍【详细解析】

Abstract

解法一：标准代数展开法

因为 $z=(3+i{)}^2$， 所以根据完全平方公式展开满足： $z=3^2+2\times 3\times i+i^2$ $z=9+6i+i^2$

因为虚数单位满足 $i^2=-1$， 所以代入上式化简为： $z=9+6i-1⟹z=8+6i$

因为复数 $z$ 的实部为 $8$，虚部为 $6$， 所以根据复数模的计算公式满足： $|z|=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$

解法二：模的性质快捷法

因为根据复数模的运算法则，复数幂的模等于模的幂，即 $|z^n|=|z{|}^n$， 所以可先求出底数复数的模长： $|3+i|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$

因为 $z=(3+i{)}^2$， 所以满足： $|z|=|(3+i{)}^2|=|3+i{|}^2=(\sqrt{10}{)}^2=10$

故答案为：10

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的四则代数运算、虚数单位的幂次退化、复数模的基本代数公式。
2. 核心方法：模长幂次转化法（解法二）。处理复数的高次幂求模长问题时，不需要进行繁琐的高次幂展开，直接先求底数的模长再求幂次，可大幅提升计算效率。
3. 避坑指南：

• 因为对 $i^2$ 的基础运算不熟练，部分考生容易因思维定势将其错写为 $1$，导致实部算错为 $9+1=10$。牢记 $i^2=-1$。
• 因为对复数虚部的概念理解不深，在计算模长公式 $\sqrt{a^2+b^2}$ 时，容易把 $i$ 也带入平方项算成 $6i$ 的平方。牢记虚部 $b$ 是一个实数（即 $i$ 前面的系数）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第二册第七章《复数》中关于复数代数运算与几何意义的课后常规基础填空题。
2. 结论推广：

• 复数乘积与幂次模长守恒模型：在复数域空间中，设有一组复数 $z_1,z_2,\dots ,z_n$。因为复数的模长算子与复数乘法算子具有高度的同态同构性，所以其连乘积与幂次的模长恒表现为各个复数单体模长的标量乘积与标量幂次： $\left|{\prod }_{i=1}^n{z}_i^{k_i}\right|\equiv {\prod }_{i=1}^n|z_i{|}^{k_i}$
• 因为本题中复数可看作单体复数 $z_1=3+i$ 的 2 次幂，所以直接利用该推广模型快速得出： $|z|=|3+i{|}^2=10$。利用该模型可以彻底规避一切代数展开步骤，实现高难度复数综合小题的高速化简。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数 类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义

• 2013-山东卷理-01 单-复数除法

• 2013-江西卷理-01 单-集合交集