2012-湖南卷理-15 填-导数与定积分

本题导读

本题考查三角函数的导数公式，以及导函数的图象截距与特殊值。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(理)）

函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi )$ 的导函数 $y=f^{\prime }(x)$ 的部分图象如图 4 所示，其中，$P$ 为图象与 $y$ 轴的交点，$A,C$ 为图象与 $x$ 轴的两个交点，$B$ 为图象的最低点.

(1)若 $\varphi =\frac{\pi }{6}$，点 $P$ 的坐标为 $\left(0,\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$，则 $\omega =$ $\underline{}$.

(2)若在曲线段 $\text{overparen}ABC$ 与 $x$ 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在 $△ABC$ 内的概率为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 因为已知 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi )$，所以根据导数公式 $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ 以及复合函数求导法则，求出导函数 $f^{\prime }(x)=\omega \cos (\omega x+\varphi )$。

2. 因为点 $P\left(0,\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ 在导函数图象上，所以将 $x=0$ 和 $\varphi =\frac{\pi }{6}$ 代入导函数方程，构建关于 $\omega$ 的方程即可求出其值。

3. 因为第二问属于几何概型，所以需要分别计算两个区域的面积。由图象可知 $\text{overparen}ABC$ 位于 $x$ 轴下方，其所围成图形的面积可以通过对 $|f^{\prime }(x)|$ 在区间 $[x_A,x_C]$ 上进行定积分求得。

4. 因为 $A,C$ 为相邻的两个零点， $B$ 为最值点，所以 $△ABC$ 的底边长为半个周期 $\frac{T}{2}$，高为导函数的最大振幅 $\omega$，代入三角形面积公式，最后由概率 $P=\frac{S_{△}}{S_{\text{区域}}}$ 求解。

✅【答案】

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(1) 3

(2) $\frac{\pi }{4}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求解 $\omega$ 的值

因为 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi )$，

所以由复合函数求导法则可得导函数为：

$f^{\prime }(x)=\omega \cos (\omega x+\varphi )$

因为 $\varphi =\frac{\pi }{6}$ 且导函数图象过点 $P\left(0,\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$，

所以将 $x=0$ 代入导函数方程满足：

$\frac{3\sqrt{3}}{2}=\omega \cos \left(\omega \times 0+\frac{\pi }{6}\right)$

$\frac{3\sqrt{3}}{2}=\omega \cos \frac{\pi }{6}$

因为 $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，

所以代入上式得：

$\frac{3\sqrt{3}}{2}=\omega \times \frac{\sqrt{3}}{2}⟹\omega =3$

（2）求解几何概型概率

由图 4 可知，导函数 $f^{\prime }(x)=\omega \cos (\omega x+\varphi )$ 在相邻零点 $A$ 和 $C$ 之间的图象位于 $x$ 轴下方。

因为 $A,C$ 为相邻的两个零点，

所以轴向距离满足：

$x_C-x_A=\frac{T}{2}=\frac{\pi }{\omega }$

因为曲线段 $\text{overparen}ABC$ 与 $x$ 轴围成的总区域面积 $S_{\Omega }$ 等于导函数绝对值在零点区间上的定积分，

所以满足：

$S_{\Omega }={\int }_{x_A}^{x_C}|\omega \cos (\omega x+\varphi )|\mathrm{d}x={\int }_{x_A}^{x_C}[-\omega \cos (\omega x+\varphi )]\mathrm{d}x$

$S_{\Omega }={\left[-\sin (\omega x+\varphi )\right]}_{x_A}^{x_C}$

因为 $x_A,x_C$ 是导函数（余弦型）的零点，所以它们必定是原函数（正弦型）的最值点。由于图象在整个单调半周期内向下弯曲，

所以满足 $\sin (\omega x_A+\varphi )=1$， $\sin (\omega x_C+\varphi )=-1$。

代入定积分公式上限与下限：

$S_{\Omega }=-(-1)-(-1)=1+1=2$

因为 $△ABC$ 的底边为线段 $AC$，高为点 $B$ 到 $x$ 轴的垂直距离，

所以底边长 $b=x_C-x_A=\frac{\pi }{\omega }$，高 $h=|f^{\prime }(x{)}_{\text{min}}|=\omega$。

根据三角形面积公式满足：

$S_{△ABC}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h=\frac{1}{2}\times \frac{\pi }{\omega }\times \omega =\frac{\pi }{2}$

因为目标点落入内侧属于几何概型，

所以根据几何概型概率计算公式满足：

$P=\frac{S_{△ABC}}{S_{\Omega }}=\frac{\frac{\pi }{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$

故答案为：（1）3 ；（2）$\frac{\pi }{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数导数的链式法则展开、定积分在求解正弦型单峰面积中的代数应用、几何概型中图形面积的比例计算。

2. 核心方法：定积分面积微元法。处理由三角函数曲线段与坐标轴围成的特殊曲边梯形面积时，通过定积分（牛顿-莱布尼茨公式）进行原函数还原代入，是攻克几何概型压轴题的通用大招。

3. 避坑指南：

• 因为区域 $\text{overparen}ABC$ 严格驻留在 $x$ 轴的下方，其对应的导函数值为负，所以在列定积分表达式时，必须在前置端加上负号（或加绝对值符号），否则算出的面积会变成负数。

• 因为对正弦型曲线的对称性质记忆不牢，容易在寻找积分上下限对应的 $\sin$ 值时产生混乱。牢记导数的零点位置无条件对应着原函数的最值点位置。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学老教材选修2-2第一章《导数及其应用》与必修3《概率》中关于定积分几何意义及几何概型交叉融合的经典压轴填空题。

2. 结论推广：

• 标准正弦波单峰面积守恒模型：在实数系空间中，对于任意标准正弦波或余弦波形 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$。因为其积分函数的周期性对称，所以其次级波形的任意一个独立单峰（从相邻零点到零点）所对底轴围成的封闭图形面积，在宏观代数拓扑演绎后，其面积大小彻底与频率 $\omega$ 及初相 $\varphi$ 发生解耦，刚性收敛为一个仅与振幅相关的绝对定值：

$$S_{\text{单峰}} \equiv \frac{2A}{\omega}$$

• 因为本题是对导函数 $f^{\prime }(x)=\omega \cos (\omega x+\varphi )$ 求单峰面积，此时其对应的振幅 $A=\omega$。直接套用该推广模型快速得出可得： $S_{\Omega }=\frac{2\cdot \omega }{\omega }=2$。利用该模型可以完全跳过繁琐的定积分书写步骤，在考场上实现快速肉眼快速得出。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1982-全国卷理-02(2)

• 2005-湖南卷理-06 单-导数的概念与计算

• 2008-北京卷文-13 填-折线函数与导数