2012-湖南卷理-18 解-二面角

本题导读

本题考查线面垂直的判定与性质。核心在于坐标法、几何法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(理)） 如图 5，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PA\perp \text{平面 }ABCD$，$AB=4,BC=3,AD=5$，$\angle DAB=\angle ABC=90^{\circ }$，$E$ 是 $CD$ 的中点.

(1) 证明： $CD\perp \text{平面 }PAE$；

(2) 若直线 $PB$ 与平面 $PAE$ 所成的角和 $PB$ 与平面 $ABCD$ 所成的角相等，求四棱锥 $P-ABCD$ 的体积.

🔍【思路分析】

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1. 建立坐标系代数化简（第一问）：因为 $PA\perp \text{平面 }ABCD$，且 $\angle DAB=90^{\circ }$，所以 $AB,AD,AP$ 两两垂直。以 $A$ 为坐标原点建立空间直角坐标系 $A-xyz$，写出各个核心顶点的三维坐标。通过计算向量数量积 $\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AE}=0$ 和 $\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AP}=0$，证明 $CD$ 垂直于平面内两条相交直线。
2. 法向量转化求解线面角（第二问）：因为第一问已证 $CD\perp \text{平面 }PAE$，所以 $\overrightarrow{CD}$ 是平面 $PAE$ 的一个法向量；同理 $\overrightarrow{AP}$ 是平面 $ABCD$ 的一个法向量。设 $PA=h$，利用直线与平面所成角的正弦值等于方向向量与平面法向量余弦值的绝对值，列出关于 $h$ 的方程，求出高后带入四棱锥体积公式。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $\frac{128\sqrt{5}}{15}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ） 证明： $CD\perp \text{平面 }PAE$

因为 $PA\perp \text{平面 }ABCD$，$AB,AD\subset \text{平面 }ABCD$， 所以 $PA\perp AB$ 且 $PA\perp AD$。 又因为 $\angle DAB=90^{\circ }⟹AB\perp AD$， 所以直线 $AB,AD,AP$ 两两相互垂直。

以点 $A$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AP}$ 的方向为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的正方向，建立空间直角坐标系 $A-xyz$。 （注：参考原解析图片2中的线段长数据，图1文字中 $AB=3,BC=4$ 与后续几何数据不符，依图2标准直角梯形数据，取 $AB=4,BC=3,AD=5$ 进行建系计算）。

根据已知线段长度，确定各顶点的直角坐标： $A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0)$ 因为点 $E$ 是线段 $CD$ 的中点，根据中点坐标公式： $E=\left(\frac{4+0}{2},\frac{3+5}{2},\frac{0+0}{2}\right)=(2,4,0)$

设线段 $PA$ 的高度为 $h(h>0)$，则顶点 $P$ 的坐标为： $P(0,0,h)$

写出判定垂直所需的核心向量： $\overrightarrow{CD}=(0-4,5-3,0-0)=(-4,2,0)$ $\overrightarrow{AE}=(2-0,4-0,0-0)=(2,4,0)$ $\overrightarrow{AP}=(0-0,0-0,h-0)=(0,0,h)$

计算向量的数量积： $\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AE}=(-4)\times 2+2\times 4+0\times 0=-8+8+0=0⟹CD\perp AE$ $\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AP}=(-4)\times 0+2\times 0+0\times h=0⟹CD\perp AP$

因为 $AE\cap AP=A$，且 $AE,AP\subset \text{平面 }PAE$， 所以根据线面垂直判定定理满足： $CD\perp \text{平面 }PAE$

（Ⅱ） 求四棱锥 $P-ABCD$ 的体积

因为由第（Ⅰ）问可知 $CD\perp \text{平面 }PAE$， 所以向量 $\overrightarrow{CD}=(-4,2,0)$ 是平面 $PAE$ 的一个法向量。 因为 $PA\perp \text{平面 }ABCD$， 所以向量 $\overrightarrow{AP}=(0,0,h)$ 是平面 $ABCD$ 的一个法向量。

写出直线 $PB$ 的方向向量： $\overrightarrow{PB}=(4-0,0-0,0-h)=(4,0,-h)$

因为直线与平面所成角的正弦值等于其方向向量与平面法向量余弦值的绝对值， 且已知直线 $PB$ 与平面 $PAE$ 所成的角和 $PB$ 与平面 $ABCD$ 所成的角相等， 所以其正弦值代数式相等，满足： $\left|\cos ⟨\overrightarrow{CD},\overrightarrow{PB}⟩\right|=\left|\cos ⟨\overrightarrow{AP},\overrightarrow{PB}⟩\right|$ 即： $\frac{\left|\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{PB}\right|}{\left|\overrightarrow{CD}\right|\cdot \left|\overrightarrow{PB}\right|}=\frac{\left|\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{PB}\right|}{\left|\overrightarrow{AP}\right|\cdot \left|\overrightarrow{PB}\right|}⟹\frac{\left|\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{PB}\right|}{\left|\overrightarrow{CD}\right|}=\frac{\left|\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{PB}\right|}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}\text{(1)}$

分别计算各个分量元的值：

• $\left|\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{PB}\right|=|(-4)\times 4+2\times 0+0\times (-h)|=|-16|=16$
• $\left|\overrightarrow{CD}\right|=\sqrt{(-4{)}^2+2^2+0^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$
• $\left|\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{PB}\right|=|0\times 4+0\times 0+h\times (-h)|=|-h^2|=h^2$
• $\left|\overrightarrow{AP}\right|=\sqrt{0^2+0^2+h^2}=h$

将上述分量代入等式①中： $\frac{16}{2\sqrt{5}}=\frac{h^2}{h}⟹\frac{8}{\sqrt{5}}=h⟹h=\frac{8\sqrt{5}}{5}$ 故棱锥的高 $PA=\frac{8\sqrt{5}}{5}$。

因为底面 $ABCD$ 是一个直角梯形，其中直角腰 $AB=4$，两底边分别为 $BC=3,AD=5$， 所以底面面积满足： $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\times (BC+AD)\times AB=\frac{1}{2}\times (3+5)\times 4=16$

根据四棱锥的体积计算公式满足： $V=\frac{1}{3}\times S_{ABCD}\times PA=\frac{1}{3}\times 16\times \frac{8\sqrt{5}}{5}=\frac{128\sqrt{5}}{15}$

所以，四棱锥 $P-ABCD$ 的体积为 $\frac{128\sqrt{5}}{15}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两两垂直构型下的直角坐标建系、向量点积证线线垂直、线面角等量关系的法向量方程化简。
2. 核心方法：空间向量法（建系法）。对于含有两两垂直边的空间几何体（如长方体、带有特殊直角腰的直角梯形垫底的棱锥），无条件建立空间直角坐标系。将抽象的空间翻折或角度相等关系完全转化为一元二次方程组进行纯代数化简，可有效降低空间想象难度。
3. 避坑指南：

• 因为在公式中“直线与平面所成角”对应的向量算子是 $\sin \theta =|\cos ⟨\mathbf{n},\mathbf{v}⟩|$。部分考生在联立方程时容易粗心漏掉绝对值符号，导致在处理负数坐标乘积时符号冲突算错。
• 因为本题题干印刷存在数据矛盾（图1和图2数值不一致），建系前必须通过 $\angle DAB=90^{\circ }$ 的直角梯形几何特征（如 $AC$ 的长度勾股定理校验）对三维边长进行二次复核。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》中关于空间向量应用、求空间角及体积的常规压轴解答题。
2. 结论推广：

• 双法向量对称线面角有界收敛模型：在立体几何空间中，若一条动斜线段 $PB$ 与两个相互垂直的平面 ${\Omega }_1,{\Omega }_2$ 所成的线面角完全相等。因为该斜线在两个平面上的投影具有高度的几何对偶性，所以其高度 $h$ 与底面法向量截距项在向量代数空间的映射下，其分式多项式必表现为完全平方差的齐次收敛状态： $h\equiv \frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot \overrightarrow{PB}|}{|{\mathbf{n}}_1|}$
• 利用该模型可以省去繁琐的余弦公式推导，在未来的任何同类线面角相等立体几何大题中，均能直接建立一元代数方程，实现卷面分步步骤的高精度拦截与快速复核。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系 类题演练 (Links)

• 2006-浙江卷理-17 解-直线与平面所成的角

• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直

• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行