2012-湖南卷理-20 解-圆的切线

本题导读

本题考查函数的应用。核心在于建模法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(理)）某企业接到生产 3000 台某产品的 $A, B, C$ 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为 $2, 2, 1$ （单位：件）.已知每个工人每天可生产 $A$ 部件 6 件，或 $B$ 部件 3 件，或 $C$ 部件 2 件.该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这三种部件，生产 $B$ 部件的人数与生产 $A$ 部件的人数成正比，比例系数为 $k$ （ $k$ 为正整数）.

(1) 设生产 $A$ 部件的人数为 $x$ ，分别写出完成 $A, B, C$ 三种部件生产任务需要的时间；

(2) 假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数 $k$ 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.

🔍【思路分析】

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工期效率分式建模（第一问）：因为订单总量为 3000 台且每台需 $A, B, C$ 数量为 $2, 2, 1$ ，所以三种部件的需求总量分别为 $6000, 6000, 3000$ 。已知 $A$ 组人数为 $x$ ，则 $B$ 组人数为 $k x$ ， $C$ 组人数为 $200 - (1 + k) x$ 。结合单人日产量，直接写出三组各自所需的工期函数 $T_{1} (x), T_{2} (x), T_{3} (x)$ 。

木桶模型与参数分域（第二问）：因为同时开工且独立生产，总任务完成的时间取决于三者中花费时间最长的那一个，即 $f (x) = max {T_{1} (x), T_{2} (x), T_{3} (x)}$ 。因为 $k$ 是正整数，所以对 $k$ 展开分类讨论：

当 $k = 2$ 时， $T_{1} (x) = T_{2} (x)$ ，此时只需化简并平衡 $max {T_{1} (x), T_{3} (x)}$ 。由于 $T_{1}$ 减、 $T_{3}$ 增，最值在交点处取得。由于人数 $x$ 必为正整数，需在理论交点两侧的整数点执行逼近校验。

当 $k \geq 3$ 及 $k = 1$ 时，分别放缩或求解交点，证明其最短时间均严格大于 $k = 2$ 时的工期，从而锁定全局最优解。

✅【答案】

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(1) 完成 $A, B, C$ 三种部件的时间分别为 $T_{1} (x) = \frac{1000}{x}$ ， $T_{2} (x) = \frac{2000}{k x}$ ， $T_{3} (x) = \frac{1500}{200 - ( 1 + k ) x}$

(2) $k = 2$ ，此时最短完成时间为 $\frac{250}{11}$ 天，人数分组为生产 $A$ 部件 $44$ 人、 $B$ 部件 $88$ 人、 $C$ 部件 $68$ 人

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）写出完成 $A, B, C$ 三种部件生产需要的时间

因为生产 3000 台产品且每台需要 $A, B, C$ 三种部件的数量分别为 $2, 2, 1$ 件，所以三种部件各自所需的生产总量满足：

$A$ 部件总量： $3000 \times 2 = 6000$ 件

$B$ 部件总量： $3000 \times 2 = 6000$ 件

$C$ 部件总量： $3000 \times 1 = 3000$ 件

因为已知安排总人数为 200 人，其中生产 $A$ 部件的人数为 $x$ ，生产 $B$ 部件的人数与 $A$ 成正比且比例系数为 $k$ ，所以生产 $B$ 部件的人数为 $k x$ 。由此可得生产 $C$ 部件的人数为： $人数 = 200 - x - k x = 200 - (1 + k) x$

因为每个工人每天可生产 $A$ 部件 6 件，或 $B$ 部件 3 件，或 $C$ 部件 2 件，依据“工期 = 总量 ÷ 总日产量”公式，所以完成 $A, B, C$ 三种部件生产任务需要的时间（单位：天）分别满足： $T_{1} (x) = \frac{6000}{6 x} = \frac{1000}{x}$ $T_{2} (x) = \frac{6000}{3 k x} = \frac{2000}{k x}$ $T_{3} (x) = \frac{3000}{2 [ 200 - ( 1 + k ) x ]} = \frac{1500}{200 - ( 1 + k ) x}$

其中变量及参数约束定义域满足 $x, k x, [200 - (1 + k) x] \in N^{*}$ 。

（Ⅱ）确定正整数 $k$ 的值使总任务完成时间最短

因为三种部件同时开工且互不干扰，所以完成整个订单的总时间 $f (x)$ 由耗时最长的那个部件决定，满足： $f (x) = max {T_{1} (x), T_{2} (x), T_{3} (x)}$ 由实际含义知， $T_{1} (x), T_{2} (x)$ 在定义域内为单调递减函数， $T_{3} (x)$ 为单调递增函数。因为比例系数 $k$ 为正整数，下面对 $k$ 的取值展开严谨的分类讨论：

① 当 $k = 2$ 时 因为 $b^{2}$ 抵消满足 $T_{2} (x) = \frac{2000}{2 x} = \frac{1000}{x} = T_{1} (x)$ ，所以此时总工期函数退化为： $f (x) = max {\frac{1000}{x}, \frac{1500}{200 - 3 x}}$

因为一个单调递减，另一个单调递增，其最小预估值在其代数交点处取得。令两分式相等： $\frac{1000}{x} = \frac{1500}{200 - 3 x} ⟹ 2 (200 - 3 x) = 3 x ⟹ 400 - 6 x = 3 x ⟹ 9 x = 400 ⟹ x = \frac{400}{9}$ 因为 $\frac{400}{9} \approx 44.44$ 不是正整数，实际的最佳人数 $x$ 必须在邻项整数 $44$ 或 $45$ 中产生。

我们对邻项整数执行代入卡位校验：

当 $x = 44$ 时： $T_{1} (44) = \frac{1000}{44} = \frac{250}{11} \approx 22.73, T_{3} (44) = \frac{1500}{200 - 3 \times 44} = \frac{1500}{68} = \frac{375}{17} \approx 22.06$ 所以 $f (44) = max {\frac{250}{11}, \frac{375}{17}} = \frac{250}{11}$ 。

当 $x = 45$ 时： $T_{1} (45) = \frac{1000}{45} = \frac{200}{9} \approx 22.22, T_{3} (45) = \frac{1500}{200 - 3 \times 45} = \frac{1500}{65} = \frac{300}{13} \approx 23.08$ 所以 $f (45) = max {\frac{200}{9}, \frac{300}{13}} = \frac{300}{13}$ 。

因为 $\frac{250}{11} - \frac{300}{13} = \frac{3250 - 3300}{143} = - \frac{50}{143} < 0 ⟹ f (44) < f (45)$ ，所以当 $k = 2, x = 44$ 时，总完成时间最短，其精确最短时间为 $\frac{250}{11}$ 天。

② 当 $k \geq 3$ 时 因为 $k \geq 3$ ，所以对分母进行不等式放大： $T_{3} (x) = \frac{1500}{200 - ( 1 + k ) x} \geq \frac{1500}{200 - ( 1 + 3 ) x} = \frac{1500}{200 - 4 x} = \frac{375}{50 - x}$ 令辅助放缩函数 $T (x) = \frac{375}{50 - x}$ （单调递增），则总工期下界满足： $f (x) = max {T_{1} (x), T_{2} (x), T_{3} (x)} \geq max {T_{1} (x), T_{3} (x)} \geq max {\frac{1000}{x}, \frac{375}{50 - x}}$

令此下界边界函数的两分支相等以求交点： $\frac{1000}{x} = \frac{375}{50 - x} ⟹ 8 (50 - x) = 3 x ⟹ 400 - 8 x = 3 x ⟹ 11 x = 400 ⟹ x = \frac{400}{11}$ 因为 $\frac{400}{11} \approx 36.36$ ，对其邻项整数 $36$ 和 $37$ 进行边界有界推导：

当 $x = 36$ 时：下界函数值为 $T_{1} (36) = \frac{1000}{36} = \frac{250}{9} \approx 27.78$ 。

当 $x = 37$ 时：下界函数值为 $T (37) = \frac{375}{50 - 37} = \frac{375}{13} \approx 28.85$ 。

因为 $\frac{250}{9} > \frac{250}{11} \approx 22.73$ ，所以当 $k \geq 3$ 时，其能达到的绝对最短时间均严格大于 $\frac{250}{11}$ ，在此区间内无法取得全局最优解。

③ 当 $k < 2$ 时 因为 $k$ 是正整数，所以只能取 $k = 1$ 。此时 $T_{1} (x) = \frac{1000}{x}$ ， $T_{2} (x) = \frac{2000}{x}$ ，显然恒满足 $T_{2} (x) > T_{1} (x)$ 。故此时的总工期函数转化为： $f (x) = max {T_{2} (x), T_{3} (x)} = max {\frac{2000}{x}, \frac{1500}{200 - 2 x}} = max {\frac{2000}{x}, \frac{750}{100 - x}}$

令两分支代数式相等求交点： $\frac{2000}{x} = \frac{750}{100 - x} ⟹ 8 (100 - x) = 3 x ⟹ 800 - 8 x = 3 x ⟹ 11 x = 800 ⟹ x = \frac{800}{11}$ 因为 $\frac{800}{11} \approx 72.73$ ，对其邻项整数 $72$ 和 $73$ 进行边界代入：

当 $x = 72$ 时： $T_{2} (72) = \frac{2000}{72} = \frac{250}{9}$ 。

当 $x = 73$ 时： $T_{3} (73) = \frac{750}{100 - 73} = \frac{750}{27} = \frac{250}{9}$ 。

因为 $\frac{250}{9} > \frac{250}{11}$ ，所以当 $k = 1$ 时，其能达到的最短时间同样大于 $\frac{250}{11}$ 。

综上所述，当且仅当比例系数 $k = 2$ 时，完成订单任务的总工期最短。此时完成任务所需的最短时间为 $\frac{250}{11}$ 天，安排生产 $A, B, C$ 三种部件的人数分别为 44 人、88 人、68 人。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式应用题的函数建模、木桶效应最大值函数的区间卡位、正整数离散自变量的临界最值逼近。

核心方法：最大值最小化交点法（木桶模型）。处理这种由多个独立分工组合而成的完工时间最值大题，总时间由“最慢的那一组”决定。在图象上表现为多段函数的上包络线。因为各分支单调性相反，最值必定在交点处的附近取得，这是攻克运筹优化大题的核心通法。

避坑指南：

因为人数 $x$ 是离散的正整数，所以求出理论交点（如 $\frac{400}{9}$ ）后，绝对不能将其直接作为答案输出。必须在与其相邻的两个整数（ 44 和 45 ）中分别带入原函数，通过比较大小锁定真正的整点最优解。

因为含有未知的正整数常数 $k$ ，必须进行严谨完备的分类讨论（ $k = 2, k \geq 3, k = 1$ ），漏掉任何一种取值的放缩校验都会直接导致失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第四章《一元函数的导数及其应用》中关于函数模型最值应用的压轴解答大题。其高等数学背景依托于运筹学与线性规划中的“极小化极大（Minimax Problem）”网络流排程优化模型。

结论推广：

多通道并联工期瓶颈收敛模型：在工程管理中，若有 $n$ 个独立同开工的生产线，其各自的工期函数分别为关于某核心资源配比 $x$ 的函数 $T_{i} (x)$ 。因为总工期受制于上边界瓶颈 $F (x) = max {T_{i} (x)}$ ，所以若要使整体工期最短，各生产线之间必须达成动态的效能自平衡。即通过调整参数使得各单调相反的分支函数的交点恰好落在整数点上（或最贴近整数点），从而达到系统的全局帕累托最优，该原理广泛应用于现代物流链与芯片多核架构的算力负载均衡评估。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

05.01 函数的概念 类题演练 (Links)

2014-江西卷文-18 解-导数最值

2014-浙江卷理-10 单-函数单调性

1987-全国卷理-05 单-函数的单调性

∑ ( Math )

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