2012-福建卷文-10 单-线性规划存在性

本题导读

本题考查线性规划，以及约束条件下参数的最值。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(文)） 若直线 $y=2x$ 上存在点 $(x,y)$ 满足约束条件 $x+y-3⩽0$，$x-2y-3⩽0$，$x⩾m$，则实数 $m$ 的最大值为()

A. $-1$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $\frac{3}{2}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

代入得 $-1⩽x⩽1$，存在点满足 $x⩾m$ 当且仅当 $m⩽1$，故 $m$ 的最大值为 $1$。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

把 $y=2x$ 代入前两个约束：

$x+2x-3⩽0$ 得 $x⩽1$；$x-4x-3⩽0$ 得 $x⩾-1$。

故直线 $y=2x$ 上满足前两个不等式的点，其横坐标范围为 $-1⩽x⩽1$。

存在点使 $x⩾m$，等价于 $[-1,1]$ 与 $[m,+\infty )$ 有公共部分，即 $m⩽1$。

故 $m$ 的最大值为 $1$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二元一次不等式组；存在性问题与参数最值

核心方法：“存在”先化”有解”：把动直线上的点代入约束，化成一元不等式组求出可行横坐标范围，再求参数

避坑指南：“存在点满足 $x⩾m$“等价于 $m$ 不超过可行横坐标的最大值 $1$，而不是取可行域里最小的 $x$；把 $y=2x$ 代入时两条约束都要代。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划存在性题，与 2013 年山东卷文第 14 题、2012 年天津卷文第 2 题同族。

结论推广：存在型参数问题：$A\cap B\ne \varnothing ⟺$ 两个区间端点满足相应的不等关系。

方法推广：“存在/恒成立”类题第一步是明确主元：把动点限制在给定曲线上，降元后按区间交集处理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-14 填-线性规划距离
• 2013-山东卷理-06 单-线性规划
• 2012-天津卷文-02 单-线性规划最值