2013-北京卷文-07 单-双曲线离心率充要

本题导读

本题考查双曲线的离心率，以及充分必要条件。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(文)） 双曲线 $x^2-\frac{y^2}{m}=1$ 的离心率大于 $\sqrt{2}$ 的充分必要条件是()

A. $m>\frac{1}{2}$　　　　　　B. $m⩾1$　　　　　　C. $m>1$　　　　　　D. $m>2$

🔍【思路分析】

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1. 方程为双曲线需 $m>0$，此时 $a=1$，$b^2=m$，$c^2=1+m$。
2. $e=\sqrt{1+m}>\sqrt{2}⟺1+m>2⟺m>1$；$m⩽0$ 时方程不是双曲线，自然不满足。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

当 $m⩽0$ 时，方程 $x^2-\frac{y^2}{m}=1$ 不表示双曲线（$m=0$ 退化，$m<0$ 表示椭圆型），此时”离心率大于 $\sqrt{2}$“无从谈起。 当 $m>0$ 时，方程表示焦点在 $x$ 轴上的双曲线，其中 $a^2=1$，$b^2=m$，故 $c^2=a^2+b^2=1+m,e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+m}.$ 由 $e>\sqrt{2}$： $\sqrt{1+m}>\sqrt{2}⟺1+m>2⟺m>1.$ 反之，当 $m>1$ 时 $1+m>2$，即 $e=\sqrt{1+m}>\sqrt{2}$，双向都成立。所以”离心率大于 $\sqrt{2}$“的充分必要条件是 $m>1$。 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的离心率与充分必要条件

核心方法：$a=1$，$b^2=m$（须 $m>0$），$e=\sqrt{1+m}>\sqrt{2}⟺m>1$

避坑指南：$\frac{y^2}{m}$ 中 $m$ 是分母：$m⩽0$ 时方程根本不是双曲线，要先把参数范围限定出来再解 $e>\sqrt{2}$；充要条件还须说明反向也成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线的几何性质与充要条件（北京卷特色考法）。

结论推广：焦点在 $x$ 轴：$c^2=a^2+b^2$；$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$；充要条件需双向论证。

方法推广：含参方程定性两步：先限定参数使方程确为双曲线 → 解离心率不等式并检查端点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-四川卷文-11 填-双曲线离心率
• 2014-新课标I卷文-04 单-双曲线离心率