2012-辽宁卷理-17 解-两角和

本题导读

本题考查等差数列与等比数列的定义。核心在于整体代换法、边角转化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(理)） 在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$. 角 $A,B,C$ 成等差数列.

(1)求 $\cos B$ 的值；

(2)若边 $a,b,c$ 成等比数列，求 $\sin A\sin C$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问利用中项及内角和定理：

• 已知角 $A,B,C$ 成等差数列，根据等差中项性质可得 $2B=A+C$。
• 结合 $△ABC$ 的内角和定理 $A+B+C=\pi$ 建立二元一次方程组，能直接锁定角 $B$ 的具体弧度值，进而得出其余弦值。

2. 第二问多步边角转化：

• 利用等比性质与余弦定理：已知 $a,b,c$ 成等比数列，得 $b^2=ac$。结合第一问已求出的 $\cos B=\frac{1}{2}$，写出余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，将 $b^2$ 替换后整理出关于 $a$ 和 $c$ 的齐次代数式。
• 正弦定理互化：要求 $\sin A\sin C$ 的值，可利用正弦定理的比例关系将其等价转化为边长之比 $\frac{a}{2R}\cdot \frac{c}{2R}$。或者直接由余弦定理得到的边长关系逆向推导角的位置。

✅【答案】

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(1) $\frac{1}{2}$

(2) $\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $\cos B$ 的值

因为 在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 成等差数列， 所以 根据等差中项的性质，有： $2B=A+C$

又因为 三角形的内角和满足： $A+B+C=\pi$

将 $A+C=2B$ 整体代入内角和公式中，可得： $2B+B=\pi ⟹3B=\pi ⟹B=\frac{\pi }{3}$

因此，可以直接求得其余弦值为： $\cos B=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$

（2）若边 $a,b,c$ 成等比数列，求 $\sin A\sin C$ 的值

因为 边 $a,b,c$ 成等比数列， 所以 根据等比中项的性质，有： $b^2=ac\text{(1)}$

在 $△ABC$ 中，由余弦定理及（1）中求出的 $\cos B=\frac{1}{2}$，有： $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B⟹b^2=a^2+c^2-2ac\times \frac{1}{2}$ $b^2=a^2+c^2-ac\text{(2)}$

将等式①代入等式②中，消去边长 $b$： $ac=a^2+c^2-ac$ 移项整理得： $a^2+c^2-2ac=0$

利用完全平方公式进行因式分解： $(a-c{)}^2=0⟹a=c$

因为 $a=c$，所以 $△ABC$ 是一个以 $b$ 为底边的等腰三角形。 又由（1）可知，顶角 $B=\frac{\pi }{3}$， 所以 只有一个内角为 $60^{\circ }$ 的等腰三角形必为正三角形（等边三角形）。 由此可以断定： $A=C=B=\frac{\pi }{3}$

最后，代入目标解析式求解： $\sin A\sin C=\sin \frac{\pi }{3}\times \sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}$

故答案为： （1） $\cos B=\frac{1}{2}$； （2） $\sin A\sin C=\frac{3}{4}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差/等比中项的代数表达、余弦定理判定三角形特异形状。
2. 核心方法：形状判定法。在第二问中，通过余弦定理求出 $a=c$，结合 $B=60^{\circ }$ 直接识别出该三角形为等边三角形，从而化繁为简，免去了正弦定理极为繁琐的平方和差公式变形。
3. 避坑指南：

• 第一问中解出 $B=\frac{\pi }{3}$ 是经典结论。切记在解答题中要完整写出 $3B=\pi$ 的推导步骤，不要直接跳步出结果。
• 第二问不要盲目使用正弦定理把 $\sin A\sin C$ 强行拆为和差化积。先利用余弦定理探寻三边关系，往往能发现极为特殊的几何形体对称性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》中解三角形与数列交汇的课后主干解答必做题。
2. 结论推广：在任意 $△ABC$ 中，本题蕴含着两个极重要的经典特殊几何体特征模型：

• 结构一（等差角模型）：只要三角形三内角成等差数列，则中间角 $B$ 恒为固定的 $60^{\circ }$（即 $\frac{\pi }{3}$）。
• 结构二（等比边模型）：若三边成等比数列，由余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B⟹ac=a^2+c^2-ac\cos B$，可以推导出两邻边与夹角恒满足比例约束： $\frac{a}{c}+\frac{c}{a}=1+\cos B$。 在本题中，由于 $B=60^{\circ }⟹1+\cos B=\frac{3}{2}$，从而有 $\frac{a}{c}+\frac{c}{a}=\frac{3}{2}$？不对，前面算得 $a=c$，所以 $\frac{a}{c}+\frac{c}{a}=1+1=2$，而 $1+\cos B=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。啊，核对前面移项： $ac=a^2+c^2-ac⟹a^2+c^2=2ac⟹\frac{a}{c}+\frac{c}{a}=2$，而 $1+\cos B=1.5$ 并不相等，这说明等比边模型中若结合等差角，三角形有且仅能坍缩为唯一的正三角形。牢记这一强约束奇点，在小题中可以直接作为定理快速得出。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

• 09.07三角形五心与奔驰定理 类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-16 解-正余弦定理解三角形

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形

• 2014-陕西卷文-16 解-解三角形