2012-重庆卷理-03 单-切线

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(理)） 对任意的实数 $k$，直线 $y=kx+1$ 与圆 $x^2+y^2=2$ 的位置关系一定是()

A. 相离　B. 相切　C. 相交但直线不过圆心　D. 相交且直线过圆心

🔍【思路分析】

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1. 几何法（$d$ 与 $r$ 对比）思路：

• 将直线方程化为一般式 $kx-y+1=0$，提取圆心 $C(0,0)$ 和半径 $r=\sqrt{2}$。
• 利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 $d=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}$。
• 分析分母范围，因为 $k^2\ge 0⟹\sqrt{k^2+1}\ge 1$，从而得出距离 $d\le 1$。
• 比较 $d$ 与 $r$，由于 $1<\sqrt{2}$，所以 $d<r$ 恒成立，即直线与圆一定相交。再代入圆心判定直线是否过圆心。

2. 定点判定法思路（最优解）：

• 观察直线方程 $y=kx+1$，由于含有参数 $k$，令 $x=0$ 时 $y=1$ 恒成立。说明无论 $k$ 取何值，直线系都恒过定点 $P(0,1)$。
• 将点 $P(0,1)$ 代入圆的方程左边：$0^2+1^2=1<2$，说明定点 $P$ 严格在圆的内部。
• 几何定理：一条直线若经过圆内部的某一个点，则这条直线与圆必然相交。
• 最后验证圆心 $C(0,0)$ 是否在直线上：将 $(0,0)$ 代入直线方程得 $0=0+1$ 不成立，排除过圆心的可能。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解法一：定点判定法（最优解） 分析直线方程 $y=kx+1$： 将方程变形为关于参数 $k$ 的恒等式： $k\cdot x+(1-y)=0$ 要使上式对任意实数 $k$ 恒成立，必须满足各项系数为 0： $\{\begin{array}{l}x=0\\ 1-y=0⟹y=1\end{array}$ 由此可知，无论 $k$ 为何值，直线 $y=kx+1$ 均恒过定点 $P(0,1)$。

分析定点 $P(0,1)$ 与圆 $x^2+y^2=2$ 的位置关系： 将点 $P(0,1)$ 的坐标代入圆的左端代数式中计算： $0^2+1^2=1$ 因为 $1<2$（即点到圆心的距离小于半径），根据点与圆的位置关系定则，定点 $P(0,1)$ 位于圆的内部。

由于直线恒过圆内部的一个定点，根据空间几何性质，该直线与圆必然存在两个不同的交点，即一定相交。

最后，检查直线是否过圆心： 圆 $x^2+y^2=2$ 的圆心坐标为 $C(0,0)$。 将 $C(0,0)$ 代入直线方程 $y=kx+1$ 中： $0=k\times 0+1⟹0=1(\text{矛盾})$ 这说明圆心坐标不可能满足直线方程，即直线一定不过圆心。

综上所述，直线与圆的位置关系一定是相交但直线不过圆心。

故选 C

解法二：几何法（$d$ 与 $r$ 关系法） 将直线 $y=kx+1$ 化为一般式方程： $kx-y+1=0$ 由圆的方程 $x^2+y^2=2$ 可知，圆心坐标为 $C(0,0)$，半径为 $r=\sqrt{2}$。

利用点到直线的距离公式，计算圆心 $C(0,0)$ 到该直线的距离 $d$： $d=\frac{|k\times 0-0+1|}{\sqrt{k^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}$

因为 $k$ 为任意实数，所以 $k^2\ge 0⟹k^2+1\ge 1$。 两边开平方取倒数，根据不等式的性质，可得距离 $d$ 的取值范围为： $\sqrt{k^2+1}\ge 1⟹\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}\le 1⟹d\le 1$

因为圆的半径 $r=\sqrt{2}\approx 1.414$，显然有： $d\le 1<\sqrt{2}=r⟹d<r\text{ 恒成立}$ 根据直线与圆的位置关系几何判定定理（当 $d<r$ 时直线与圆相交），该直线与圆必定相交。

由于当圆心 $C(0,0)$ 在直线上时满足 $d=0$。而此处 $d=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}\ne 0$ 恒成立，说明圆心不可能在直线上，即直线不过圆心。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线系恒过定点的求解、点在圆内的几何特征、直线与圆相交的代数判别式（$d<r$）。
2. 核心方法：动直线定点突破法。在解析几何中，遇到含有未知参数（如斜率 $k$ 或截距）的直线与圆锥曲线位置关系问题，优先探寻该动直线是否恒过某一个固定点。若该定点恰好在圆内（或椭圆内、抛物线内部），则可直接定性判定为相交，免去所有根式通分运算。
3. 避坑指南：

• 遗漏“不过圆心”的细节限制：部分考生通过计算 $d<r$ 仅判定出直线与圆相交，在选择时没有仔细甄别 C 选项与 D 选项的差异，导致盲目二选一。切记做题需完整代入圆心 $(0,0)$ 验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》中关于直线与圆位置关系的常规核心习题。属于高考考查解析几何位置关系的经典基础题。
2. 结论推广:

• 恒过定点直线系位置关系模型：对于任意含有参数 $k$ 的直线方程 $y-y_0=k(x-x_0)$ 以及标准圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$。
• 该直线系恒过定点 $P(x_0,y_0)$。若定点 $P$ 满足： $(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2<R^2$
• 则该直线与圆在任意实数 $k$ 范围内恒为相交关系。且当且仅当定点 $P$ 与圆心重合（即 $x_0=a,y_0=b$）时，直线才会恒过圆心（对应 D 选项）。
• 本题中定点为 $(0,1)$，非圆心 $(0,0)$，直接套用推广模型，即可在 口算锁定 C 选项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

• 17.03 点与圆的位置关系 类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷文-04 单-圆最短距离

• 2013-陕西卷文-08 单-直线与圆位置关系

• 2014-江苏卷-09 填-弦长问题