2012-福建卷文-22 解-函数解析式与零点个数

本题导读

本题考查利用导数研究函数最值。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(文)） 已知函数 $f(x)=ax\sin x-\frac{3}{2}$（$a\in \mathbf{R}$），且在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上的最大值为 $\frac{\pi -3}{2}$.

(1)求函数 $f(x)$ 的解析式；

(2)判断函数 $f(x)$ 在 $(0,\pi )$ 内的零点个数，并加以证明.

🔍【思路分析】

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（1）$f(x)=x\sin x-\frac{3}{2}$；（2）在 $(0,\pi )$ 内有且只有 $2$ 个零点：$(0,\frac{\pi }{2})$ 内 $x\sin x$ 从 $0$ 增到 $\frac{\pi }{2}$ 恰一次穿过 $\frac{3}{2}$；$(\frac{\pi }{2},\pi )$ 内先增后减且两端一高一低，也恰一次穿过。

✅【答案】

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(1)$f(x)=x\sin x-\frac{3}{2}$；(2)$f(x)$ 在 $(0,\pi )$ 内有且只有 $2$ 个零点，证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）令 $h(x)=x\sin x$。当 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时，$h^{\prime }(x)=\sin x+x\cos x>0$，故 $h(x)$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上递增，最大值 $h\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}$。

若 $a⩽0$，则 $f(x)=ah(x)-\frac{3}{2}$ 的最大值为 $f(0)=-\frac{3}{2}\ne \frac{\pi -3}{2}$，不合题意；故 $a>0$，此时 $f(x)$ 的最大值为 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{a\pi }{2}-\frac{3}{2}$。

由 $\frac{a\pi }{2}-\frac{3}{2}=\frac{\pi -3}{2}$ 得 $a=1$，故 $f(x)=x\sin x-\frac{3}{2}$。

（2）$f(x)=0$ 等价于 $h(x)=x\sin x=\frac{3}{2}$。

在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 内：$h^{\prime }(x)=\sin x+x\cos x>0$，$h$ 严格递增，且 $h(0)=0<\frac{3}{2}$，$h\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}>\frac{3}{2}$，由零点存在定理及单调性，方程 $h(x)=\frac{3}{2}$ 在该区间内有且只有一个根。

在 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 内：$h^{\prime \prime }(x)=2\cos x-x\sin x<0$，故 $h^{\prime }(x)$ 严格递减；又 $h^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=1>0$，$h^{\prime }(\pi )=-\pi <0$，存在唯一的 $c\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 使 $h^{\prime }(c)=0$，从而 $h$ 在 $\left(\frac{\pi }{2},c\right)$ 上递增、在 $(c,\pi )$ 上递减。

$h\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}>\frac{3}{2}$，$h(c)>h\left(\frac{\pi }{2}\right)>\frac{3}{2}$，而 $h(\pi )=0<\frac{3}{2}$，由单调性与零点存在定理，方程 $h(x)=\frac{3}{2}$ 在该区间内也有且只有一个根。

综上，$f(x)$ 在 $(0,\pi )$ 内有且只有 $2$ 个零点。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数与函数的最值；含三角因子的单调性；零点存在定理

核心方法：先研究 $h(x)=x\sin x$ 的单调性，按 $a$ 的符号讨论最值定 $a$；零点个数按区间分治：单调区间内用”端点函数值异号 + 严格单调”锁定唯一零点

避坑指南：$h^{\prime }(x)=\sin x+x\cos x$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 内两项同为正；$(\frac{\pi }{2},\pi )$ 内 $h$ 不单调，必须先用 $h^{\prime \prime }$ 定 $h^{\prime }$ 的变号点再分两段；$h(c)>\frac{3}{2}$ 是说明”后段先增”不产生额外零点的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数零点个数压轴题，与 2013 年上海卷文第 21 题、2014 年四川卷文第 21 题同族。

结论推广：$x\sin x$ 在 $[0,\pi ]$ 上的形状：$\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 增，$\left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 先增后减，峰值 $\frac{\pi }{2}$。

方法推广：零点个数证明的标准模板：求导定单调区间 $\to$ 每个单调区间用零点存在定理 + 严格单调证”至多一个” $\to$ 端点（或极值）值比高低证”至少一个”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-21 解-三角零点个数
• 2013-重庆卷理-06 单-零点存在性定理
• 2014-四川卷文-21 解-导数零点证明