2012-陕西卷理-13 填-抛物线的应用

本题导读

本题考查抛物线的实际应用（建模），以及抛物线方程的建立。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(理)） 如图是抛物线形拱桥，当水面在 $l$ 时，拱顶离水面 $2$ 米，水面宽 $4$ 米，水位下降 $1$ 米后，水面宽 $\underline{}$ 米.

🔍【思路分析】

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1. 建立坐标系，以拱顶为原点，开口向下。
2. 由”拱顶离水面 2 米、水面宽 4 米”确定抛物线方程 $y=-\frac{x^2}{2}$。
3. 水位下降 1 米，代入 $y=-3$ 求水面半宽，得水面宽。

✅【答案】

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$2\sqrt{6}$

✍【详细解析】

Abstract

以拱顶为原点，竖直向下为 $y$ 轴正方向（或开口向下），设抛物线 $x^2=-2py$。 水面在拱顶下 $2$ 米处，即 $y=-2$ 时 $x=\pm 2$（半宽 2），代入 $x^2=-2py$：$4=-2p(-2)=4p\Rightarrow p=1$。 故抛物线 $x^2=-2y$，即 $y=-\frac{x^2}{2}$。 水位下降 1 米，水面在 $y=-3$ 处：$-3=-\frac{x^2}{2}\Rightarrow x^2=6\Rightarrow x=\pm \sqrt{6}$。 水面宽 $=2\sqrt{6}$ 米。故答案为 $2\sqrt{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的标准方程

核心方法：抛物线的实际应用

避坑指南：数学建模

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于抛物线拱桥等实际建模

结论推广：可推广到隧道、桥梁的截面问题

方法推广：建模时先建坐标系再定方程

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-广东卷文-20 解-椭圆抛物线切线与存在性
• 2012-上海卷文-21 解-抛物线应用建模最值
• 2013-北京卷理-07 单-抛物线方程